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Theorem 1idpr 8862
Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1idpr  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  1P )  =  A )

Proof of Theorem 1idpr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2672 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  1P  x  =  ( f  .Q  g )  <->  E. g
( g  e.  1P  /\  x  =  ( f  .Q  g ) ) )
2 19.42v 1924 . . . . . 6  |-  ( E. g ( x  <Q  f  /\  x  =  ( f  .Q  g ) )  <->  ( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) ) )
3 elprnq 8824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  f  e.  Q. )
4 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f  .Q  g )  ->  (
x  <Q  f  <->  ( f  .Q  g )  <Q  f
) )
5 df-1p 8815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1P  =  { g  |  g 
<Q  1Q }
65abeq2i 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  1P  <->  g  <Q  1Q )
7 ltmnq 8805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
g  <Q  1Q  <->  ( f  .Q  g )  <Q  (
f  .Q  1Q ) ) )
8 mulidnq 8796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
f  .Q  1Q )  =  f )
98breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  g
)  <Q  ( f  .Q  1Q )  <->  ( f  .Q  g )  <Q  f
) )
107, 9bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
g  <Q  1Q  <->  ( f  .Q  g )  <Q  f
) )
116, 10syl5rbb 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  g
)  <Q  f  <->  g  e.  1P ) )
124, 11sylan9bbr 682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  g ) )  -> 
( x  <Q  f  <->  g  e.  1P ) )
133, 12sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  /\  x  =  ( f  .Q  g ) )  ->  ( x  <Q  f  <->  g  e.  1P ) )
1413ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  ( x  =  ( f  .Q  g )  ->  ( x  <Q  f  <-> 
g  e.  1P ) ) )
1514pm5.32rd 622 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  ( ( x  <Q  f  /\  x  =  ( f  .Q  g ) )  <->  ( g  e.  1P  /\  x  =  ( f  .Q  g
) ) ) )
1615exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  ( E. g ( x  <Q  f  /\  x  =  ( f  .Q  g ) )  <->  E. g
( g  e.  1P  /\  x  =  ( f  .Q  g ) ) ) )
172, 16syl5rbbr 252 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  ( E. g ( g  e.  1P  /\  x  =  ( f  .Q  g ) )  <->  ( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) ) ) )
181, 17syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  ( E. g  e.  1P  x  =  ( f  .Q  g )  <-> 
( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g
) ) ) )
1918rexbidva 2683 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. f  e.  A  E. g  e.  1P  x  =  ( f  .Q  g )  <->  E. f  e.  A  ( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) ) ) )
20 1pr 8848 . . . 4  |-  1P  e.  P.
21 df-mp 8817 . . . . 5  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  z  e.  P.  |->  { w  |  E. u  e.  y  E. v  e.  z  w  =  ( u  .Q  v ) } )
22 mulclnq 8780 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( u  .Q  v
)  e.  Q. )
2321, 22genpelv 8833 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( x  e.  ( A  .P.  1P )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  1P  x  =  ( f  .Q  g ) ) )
2420, 23mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( A  .P.  1P )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  1P  x  =  ( f  .Q  g ) ) )
25 prnmax 8828 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  A )  ->  E. f  e.  A  x  <Q  f )
26 ltrelnq 8759 . . . . . . . . . . 11  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
2726brel 4885 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
<Q  f  ->  ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. ) )
28 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
29 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
30 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( *Q
`  f )  e. 
_V
31 mulcomnq 8786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y
)
32 mulassnq 8792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  .Q  z )  .Q  w )  =  ( y  .Q  (
z  .Q  w ) )
3328, 29, 30, 31, 32caov12 6234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) )  =  ( x  .Q  ( f  .Q  ( *Q `  f ) ) )
34 recidnq 8798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
f  .Q  ( *Q
`  f ) )  =  1Q )
3534oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( f  .Q  ( *Q `  f ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
3633, 35syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
37 mulidnq 8796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
3836, 37sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) )  =  x )
3938eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  x  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
40 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e. 
_V
41 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( f  .Q  g )  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
4241eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( x  =  ( f  .Q  g )  <->  x  =  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) ) ) )
4340, 42spcev 3003 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) )  ->  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) )
4427, 39, 433syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
<Q  f  ->  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) )
4544a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  A  ->  (
x  <Q  f  ->  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) ) )
4645ancld 537 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  A  ->  (
x  <Q  f  ->  (
x  <Q  f  /\  E. g  x  =  (
f  .Q  g ) ) ) )
4746reximia 2771 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  A  x 
<Q  f  ->  E. f  e.  A  ( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) ) )
4825, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  A )  ->  E. f  e.  A  ( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) ) )
4948ex 424 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  A  ->  E. f  e.  A  ( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) ) ) )
50 prcdnq 8826 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  ( x  <Q  f  ->  x  e.  A ) )
5150adantrd 455 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  A )  ->  ( ( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) )  ->  x  e.  A )
)
5251rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. f  e.  A  ( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) )  ->  x  e.  A ) )
5349, 52impbid 184 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  A  <->  E. f  e.  A  ( x  <Q  f  /\  E. g  x  =  ( f  .Q  g ) ) ) )
5419, 24, 533bitr4d 277 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( A  .P.  1P )  <->  x  e.  A ) )
5554eqrdv 2402 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  1P )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Q.cnq 8683   1Qc1q 8684    .Q cmq 8687   *Qcrq 8688    <Q cltq 8689   P.cnp 8690   1Pc1p 8691    .P. cmp 8693
This theorem is referenced by:  m1m1sr  8924  1idsr  8929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-mpq 8742  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-mq 8748  df-1nq 8749  df-rq 8750  df-ltnq 8751  df-np 8814  df-1p 8815  df-mp 8817
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