MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1fv Structured version   Unicode version

Theorem 1fv 11789
Description: A one value function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1fv  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N ) )

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 10875 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 f1osng 5854 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  V )  ->  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
31, 2mpan 670 . . . . 5  |-  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
4 f1ofo 5823 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  ->  {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N } )
5 dffo2 5799 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N }  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } ) )
65biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N }  ->  ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } ) )
7 fzsn 11725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
98eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0 ... 0 )
109feq2i 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  <->  {
<. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
1110biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
12 snssi 4171 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  V  ->  { N }  C_  V )
13 fss 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N }  /\  { N }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  N  e.  V
)  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
1514ex 434 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ->  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } )  ->  ( N  e.  V  ->  {
<. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
174, 6, 163syl 20 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  ->  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
183, 17mpcom 36 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
19 fvsng 6095 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  N >. } `  0
)  =  N )
201, 19mpan 670 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N )
2118, 20jca 532 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 )  =  N ) )
2221adantr 465 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( {
<. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) )
23 feq1 5713 . . . 4  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
24 fveq1 5865 . . . . 5  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 ) )
2524eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  (
( P `  0
)  =  N  <->  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 )  =  N ) )
2623, 25anbi12d 710 . . 3  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  (
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N )  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) ) )
2726adantl 466 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( ( P :
( 0 ... 0
) --> V  /\  ( P `  0 )  =  N )  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) ) )
2822, 27mpbird 232 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   ran crn 5000   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   ZZcz 10864   ...cfz 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-neg 9808  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673
This theorem is referenced by:  0pthon1  24286
  Copyright terms: Public domain W3C validator