MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1fv Structured version   Unicode version

Theorem 1fv 11537
Description: A one value function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1fv  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N ) )

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 10662 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
2 f1osng 5684 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  V )  ->  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
31, 2mpan 670 . . . . 5  |-  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N } )
4 f1ofo 5653 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  ->  {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N } )
5 dffo2 5629 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N }  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } ) )
65biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -onto-> { N }  ->  ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } ) )
7 fzsn 11505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
98eqcomi 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  =  ( 0 ... 0 )
109feq2i 5557 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  <->  {
<. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
1110biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N } )
12 snssi 4022 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  V  ->  { N }  C_  V )
13 fss 5572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> { N }  /\  { N }  C_  V )  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  N  e.  V
)  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
1514ex 434 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  ->  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  N >. } : { 0 } --> { N }  /\  ran  { <. 0 ,  N >. }  =  { N } )  ->  ( N  e.  V  ->  {
<. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
174, 6, 163syl 20 . . . . 5  |-  ( {
<. 0 ,  N >. } : { 0 } -1-1-onto-> { N }  ->  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
183, 17mpcom 36 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V )
19 fvsng 5917 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  V )  ->  ( { <. 0 ,  N >. } `  0
)  =  N )
201, 19mpan 670 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N )
2118, 20jca 532 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 )  =  N ) )
2221adantr 465 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( {
<. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) )
23 feq1 5547 . . . 4  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
24 fveq1 5695 . . . . 5  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  ( P `  0 )  =  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 ) )
2524eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  (
( P `  0
)  =  N  <->  ( { <. 0 ,  N >. } `
 0 )  =  N ) )
2623, 25anbi12d 710 . . 3  |-  ( P  =  { <. 0 ,  N >. }  ->  (
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N )  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) ) )
2726adantl 466 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( ( P :
( 0 ... 0
) --> V  /\  ( P `  0 )  =  N )  <->  ( { <. 0 ,  N >. } : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( { <. 0 ,  N >. } `  0 )  =  N ) ) )
2822, 27mpbird 232 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  N >. } )  -> 
( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  ( P `
 0 )  =  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   {csn 3882   <.cop 3888   ran crn 4846   -->wf 5419   -onto->wfo 5421   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287   ZZcz 10651   ...cfz 11442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-neg 9603  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443
This theorem is referenced by:  0pthon1  23484
  Copyright terms: Public domain W3C validator