MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Structured version   Unicode version

Theorem 1exp 11876
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9368 . . . 4  |-  1  e.  _V
21snid 3893 . . 3  |-  1  e.  { 1 }
3 ax-1ne0 9338 . . 3  |-  1  =/=  0
4 ax-1cn 9327 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 snssi 4005 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 1 }  C_  CC )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  { 1 }  C_  CC
7 elsni 3890 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
8 elsni 3890 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
9 oveq12 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 1  x.  1 ) )
10 1t1e1 10456 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
127, 8, 11syl2an 474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
13 ovex 6105 . . . . . 6  |-  ( x  x.  y )  e. 
_V
1413elsnc 3889 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { 1 }  <-> 
( x  x.  y
)  =  1 )
1512, 14sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  {
1 } )
167oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  ( 1  /  1 ) )
17 1div1e1 10011 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
1816, 17syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  1 )
19 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2019elsnc 3889 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  x )  e.  { 1 }  <-> 
( 1  /  x
)  =  1 )
2118, 20sylibr 212 . . . . 5  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  {
1 } )
2221adantr 462 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  { 1 } )
236, 15, 2, 22expcl2lem 11860 . . 3  |-  ( ( 1  e.  { 1 }  /\  1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
242, 3, 23mp3an12 1297 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
25 elsni 3890 . 2  |-  ( ( 1 ^ N )  e.  { 1 }  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
2624, 25syl 16 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596    C_ wss 3316   {csn 3865  (class class class)co 6080   CCcc 9267   0cc0 9269   1c1 9270    x. cmul 9274    / cdiv 9980   ZZcz 10633   ^cexp 11848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-seq 11790  df-exp 11849
This theorem is referenced by:  exprec  11888  sq1  11943  iexpcyc  11953  faclbnd4lem1  12052  iseraltlem2  13143  iseraltlem3  13144  binom1p  13276  binom11  13277  esum  13348  ege2le3  13357  eirrlem  13468  odzdvds  13849  iblabsr  21148  iblmulc2  21149  abelthlem1  21780  abelthlem3  21782  abelthlem8  21788  abelthlem9  21789  ef2kpi  21824  root1cj  22078  cxpeq  22079  quart  22140  leibpi  22221  log2cnv  22223  mule1  22370  lgseisenlem1  22572  lgseisenlem4  22575  lgseisen  22576  lgsquadlem1  22577  lgsquad2lem1  22581  m1lgs  22585  dchrisum0flblem1  22641  subfaclim  26923  iblmulc2nc  28298  expdioph  29214  lhe4.4ex1a  29445  stoweidlem7  29645  stirlinglem5  29716  stirlinglem7  29718  stirlinglem10  29721
  Copyright terms: Public domain W3C validator