MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Structured version   Unicode version

Theorem 1exp 11914
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9402 . . . 4  |-  1  e.  _V
21snid 3926 . . 3  |-  1  e.  { 1 }
3 ax-1ne0 9372 . . 3  |-  1  =/=  0
4 ax-1cn 9361 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 snssi 4038 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 1 }  C_  CC )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  { 1 }  C_  CC
7 elsni 3923 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
8 elsni 3923 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
9 oveq12 6121 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 1  x.  1 ) )
10 1t1e1 10490 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
127, 8, 11syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
13 ovex 6137 . . . . . 6  |-  ( x  x.  y )  e. 
_V
1413elsnc 3922 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { 1 }  <-> 
( x  x.  y
)  =  1 )
1512, 14sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  {
1 } )
167oveq2d 6128 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  ( 1  /  1 ) )
17 1div1e1 10045 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
1816, 17syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  1 )
19 ovex 6137 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2019elsnc 3922 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  x )  e.  { 1 }  <-> 
( 1  /  x
)  =  1 )
2118, 20sylibr 212 . . . . 5  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  {
1 } )
2221adantr 465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  { 1 } )
236, 15, 2, 22expcl2lem 11898 . . 3  |-  ( ( 1  e.  { 1 }  /\  1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
242, 3, 23mp3an12 1304 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
25 elsni 3923 . 2  |-  ( ( 1 ^ N )  e.  { 1 }  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
2624, 25syl 16 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    C_ wss 3349   {csn 3898  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303   1c1 9304    x. cmul 9308    / cdiv 10014   ZZcz 10667   ^cexp 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-seq 11828  df-exp 11887
This theorem is referenced by:  exprec  11926  sq1  11981  iexpcyc  11991  faclbnd4lem1  12090  iseraltlem2  13181  iseraltlem3  13182  binom1p  13315  binom11  13316  esum  13387  ege2le3  13396  eirrlem  13507  odzdvds  13888  iblabsr  21329  iblmulc2  21330  abelthlem1  21918  abelthlem3  21920  abelthlem8  21926  abelthlem9  21927  ef2kpi  21962  root1cj  22216  cxpeq  22217  quart  22278  leibpi  22359  log2cnv  22361  mule1  22508  lgseisenlem1  22710  lgseisenlem4  22713  lgseisen  22714  lgsquadlem1  22715  lgsquad2lem1  22719  m1lgs  22723  dchrisum0flblem1  22779  subfaclim  27098  iblmulc2nc  28483  expdioph  29398  lhe4.4ex1a  29629  stoweidlem7  29828  stirlinglem5  29899  stirlinglem7  29901  stirlinglem10  29904  altgsumbc  30778
  Copyright terms: Public domain W3C validator