MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Structured version   Unicode version

Theorem 1exp 12152
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9582 . . . 4  |-  1  e.  _V
21snid 4050 . . 3  |-  1  e.  { 1 }
3 ax-1ne0 9552 . . 3  |-  1  =/=  0
4 ax-1cn 9541 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 snssi 4166 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 1 }  C_  CC )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  { 1 }  C_  CC
7 elsni 4047 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
8 elsni 4047 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
9 oveq12 6286 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 1  x.  1 ) )
10 1t1e1 10674 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2519 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
127, 8, 11syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
13 ovex 6302 . . . . . 6  |-  ( x  x.  y )  e. 
_V
1413elsnc 4046 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { 1 }  <-> 
( x  x.  y
)  =  1 )
1512, 14sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  {
1 } )
167oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  ( 1  /  1 ) )
17 1div1e1 10228 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
1816, 17syl6eq 2519 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  1 )
19 ovex 6302 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2019elsnc 4046 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  x )  e.  { 1 }  <-> 
( 1  /  x
)  =  1 )
2118, 20sylibr 212 . . . . 5  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  {
1 } )
2221adantr 465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  { 1 } )
236, 15, 2, 22expcl2lem 12136 . . 3  |-  ( ( 1  e.  { 1 }  /\  1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
242, 3, 23mp3an12 1309 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
25 elsni 4047 . 2  |-  ( ( 1 ^ N )  e.  { 1 }  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
2624, 25syl 16 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657    C_ wss 3471   {csn 4022  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483   1c1 9484    x. cmul 9488    / cdiv 10197   ZZcz 10855   ^cexp 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-seq 12066  df-exp 12125
This theorem is referenced by:  exprec  12164  sq1  12219  iexpcyc  12229  faclbnd4lem1  12328  iseraltlem2  13456  iseraltlem3  13457  binom1p  13597  binom11  13598  esum  13669  ege2le3  13678  eirrlem  13789  odzdvds  14172  iblabsr  21966  iblmulc2  21967  abelthlem1  22555  abelthlem3  22557  abelthlem8  22563  abelthlem9  22564  ef2kpi  22599  root1cj  22853  cxpeq  22854  quart  22915  leibpi  22996  log2cnv  22998  mule1  23145  lgseisenlem1  23347  lgseisenlem4  23350  lgseisen  23351  lgsquadlem1  23352  lgsquad2lem1  23356  m1lgs  23360  dchrisum0flblem1  23416  subfaclim  28260  iblmulc2nc  29646  expdioph  30560  lhe4.4ex1a  30791  stoweidlem7  31264  stirlinglem5  31335  stirlinglem7  31337  stirlinglem10  31340  altgsumbc  31882
  Copyright terms: Public domain W3C validator