Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrco Structured version   Unicode version

Theorem 1cvrco 32956
Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrco.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
1cvrco.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
1cvrco.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1cvrco.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
1cvrco.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
1cvrco  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  X )  e.  A ) )

Proof of Theorem 1cvrco
StepHypRef Expression
1 hlop 32847 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
3 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
4 1cvrco.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 1cvrco.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
64, 5op1cl 32670 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )
72, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  .1.  e.  B )
8 1cvrco.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
9 1cvrco.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
104, 8, 9cvrcon3b 32762 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  .1.  ) C (  ._|_  `  X ) ) )
112, 3, 7, 10syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  .1.  ) C (  ._|_  `  X ) ) )
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
1312, 5, 8opoc1 32687 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  ( 0. `  K
) )
142, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  ( 0. `  K ) )
1514breq1d 4297 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  .1.  ) C (  ._|_  `  X
)  <->  ( 0. `  K ) C ( 
._|_  `  X ) ) )
164, 8opoccl 32679 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
171, 16sylan 471 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
1817biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0. `  K ) C ( 
._|_  `  X )  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
1911, 15, 183bitrd 279 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0. `  K ) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
20 1cvrco.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
214, 12, 9, 20isat 32771 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
(  ._|_  `  X )  e.  A  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0. `  K
) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
2221adantr 465 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  e.  A  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
2319, 22bitr4d 256 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  X )  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   Basecbs 14166   occoc 14238   0.cp0 15199   1.cp1 15200   OPcops 32657    <o ccvr 32747   Atomscatm 32748   HLchlt 32835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-p0 15201  df-p1 15202  df-oposet 32661  df-ol 32663  df-oml 32664  df-covers 32751  df-ats 32752  df-hlat 32836
This theorem is referenced by:  1cvratex  32957  lhpoc  33498
  Copyright terms: Public domain W3C validator