Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvratex Structured version   Unicode version

Theorem 1cvratex 32963
 Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvratex.b
1cvratex.s
1cvratex.u
1cvratex.c
1cvratex.a
Assertion
Ref Expression
1cvratex
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem 1cvratex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1006 . . 3
2 1cvratex.b . . . . 5
3 1cvratex.u . . . . 5
4 eqid 2423 . . . . 5
5 1cvratex.c . . . . 5
6 1cvratex.a . . . . 5
72, 3, 4, 5, 61cvrco 32962 . . . 4
87biimp3a 1365 . . 3
9 eqid 2423 . . . 4
109, 5, 62dim 32960 . . 3
111, 8, 10syl2anc 666 . 2
12 simp11 1036 . . . . . 6
13 hlop 32853 . . . . . . . 8
1412, 13syl 17 . . . . . . 7
15 hllat 32854 . . . . . . . . 9
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8
17 simp12 1037 . . . . . . . . 9
182, 4opoccl 32685 . . . . . . . . 9
1914, 17, 18syl2anc 666 . . . . . . . 8
20 simp2l 1032 . . . . . . . . 9
212, 6atbase 32780 . . . . . . . . 9
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8
232, 9latjcl 16290 . . . . . . . 8
2416, 19, 22, 23syl3anc 1265 . . . . . . 7
252, 4opoccl 32685 . . . . . . 7
2614, 24, 25syl2anc 666 . . . . . 6
27 simp2r 1033 . . . . . . . . . . . . 13
282, 6atbase 32780 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12
302, 9latjcl 16290 . . . . . . . . . . . 12
3116, 24, 29, 30syl3anc 1265 . . . . . . . . . . 11
322, 4opoccl 32685 . . . . . . . . . . 11
3314, 31, 32syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
34 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11
35 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11
362, 34, 35op0le 32677 . . . . . . . . . 10
3714, 33, 36syl2anc 666 . . . . . . . . 9
38 simp3r 1035 . . . . . . . . . . 11
39 1cvratex.s . . . . . . . . . . . 12
402, 39, 5cvrlt 32761 . . . . . . . . . . 11
4112, 24, 31, 38, 40syl31anc 1268 . . . . . . . . . 10
422, 39, 4opltcon3b 32695 . . . . . . . . . . 11
4314, 24, 31, 42syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10
4441, 43mpbid 214 . . . . . . . . 9
45 hlpos 32856 . . . . . . . . . . 11
4612, 45syl 17 . . . . . . . . . 10
472, 35op0cl 32675 . . . . . . . . . . 11
4814, 47syl 17 . . . . . . . . . 10
492, 34, 39plelttr 16211 . . . . . . . . . 10
5046, 48, 33, 26, 49syl13anc 1267 . . . . . . . . 9
5137, 44, 50mp2and 684 . . . . . . . 8
5239pltne 16201 . . . . . . . . 9
5312, 48, 26, 52syl3anc 1265 . . . . . . . 8
5451, 53mpd 15 . . . . . . 7
5554necomd 2696 . . . . . 6
562, 34, 35, 6atle 32926 . . . . . 6
5712, 26, 55, 56syl3anc 1265 . . . . 5
58 simp3l 1034 . . . . . . . . . . 11
592, 39, 5cvrlt 32761 . . . . . . . . . . 11
6012, 19, 24, 58, 59syl31anc 1268 . . . . . . . . . 10
612, 39, 4opltcon3b 32695 . . . . . . . . . . 11
6214, 19, 24, 61syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10
6360, 62mpbid 214 . . . . . . . . 9
642, 4opococ 32686 . . . . . . . . . 10
6514, 17, 64syl2anc 666 . . . . . . . . 9
6663, 65breqtrd 4446 . . . . . . . 8
6766adantr 467 . . . . . . 7
68 simpl11 1081 . . . . . . . . 9
6968, 45syl 17 . . . . . . . 8
702, 6atbase 32780 . . . . . . . . 9
7170adantl 468 . . . . . . . 8
7226adantr 467 . . . . . . . 8
73 simpl12 1082 . . . . . . . 8
742, 34, 39plelttr 16211 . . . . . . . 8
7569, 71, 72, 73, 74syl13anc 1267 . . . . . . 7
7667, 75mpan2d 679 . . . . . 6
7776reximdva 2901 . . . . 5
7857, 77mpd 15 . . . 4
79783exp 1205 . . 3
8079rexlimdvv 2924 . 2
8111, 80mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 983   wceq 1438   wcel 1869   wne 2619  wrex 2777   class class class wbr 4421  cfv 5599  (class class class)co 6303  cbs 15114  cple 15190  coc 15191  cpo 16178  cplt 16179  cjn 16182  cp0 16276  cp1 16277  clat 16284  cops 32663   ccvr 32753  catm 32754  chlt 32841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-p1 16279  df-lat 16285  df-clat 16347  df-oposet 32667  df-ol 32669  df-oml 32670  df-covers 32757  df-ats 32758  df-atl 32789  df-cvlat 32813  df-hlat 32842 This theorem is referenced by:  1cvratlt  32964  lhpexlt  33492
 Copyright terms: Public domain W3C validator