MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1conngra Structured version   Unicode version

Theorem 1conngra 25345
Description: A class/graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1conngra  |-  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E )

Proof of Theorem 1conngra
Dummy variables  f 
k  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
2 snex 4605 . . . . . . . 8  |-  { A }  e.  _V
31, 2jctil 539 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  ( { A }  e.  _V  /\  E  e.  V ) )
4 snidg 3967 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  { A } )
54adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  A  e.  { A } )
6 0pthonv 25253 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  E  e.  V
)  ->  ( A  e.  { A }  ->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
73, 5, 6sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p )
8 oveq2 6257 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  A  ->  ( A ( { A } PathOn  E ) n )  =  ( A ( { A } PathOn  E ) A ) )
98breqd 4377 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  (
f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
1092exbidv 1764 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E )
n ) p  <->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
1110ralsng 3977 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
1211adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  ( A. n  e. 
{ A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
137, 12mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p )
14 oveq1 6256 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  (
k ( { A } PathOn  E ) n )  =  ( A ( { A } PathOn  E ) n ) )
1514breqd 4377 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  (
f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
16152exbidv 1764 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E )
n ) p  <->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
1716ralbidv 2804 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
1817ralsng 3977 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. k  e.  { A } A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
1918adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  ( A. k  e. 
{ A } A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
2013, 19mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  A. k  e.  { A } A. n  e. 
{ A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p )
21 isconngra 25342 . . . . 5  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  E  e.  V
)  ->  ( { A } ConnGrph  E  <->  A. k  e.  { A } A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
223, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  ( { A } ConnGrph  E  <->  A. k  e.  { A } A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
2320, 22mpbird 235 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  { A } ConnGrph  E )
2423ex 435 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E )
)
25 snprc 4006 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
26 0conngra 25344 . . . 4  |-  ( E  e.  V  ->  (/) ConnGrph  E )
27 breq1 4369 . . . 4  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( { A } ConnGrph  E  <->  (/) ConnGrph  E ) )
2826, 27syl5ibr 224 . . 3  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E ) )
2925, 28sylbi 198 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E )
)
3024, 29pm2.61i 167 1  |-  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022   (/)c0 3704   {csn 3941   class class class wbr 4366  (class class class)co 6249   PathOn cpthon 25174   ConnGrph cconngra 25339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-hash 12466  df-word 12612  df-wlk 25178  df-trail 25179  df-pth 25180  df-wlkon 25184  df-pthon 25186  df-conngra 25340
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator