MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1conngra Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 1conngra 25451
Description: A class/graph with (at most) one vertex is connected. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
1conngra  |-  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E )

Proof of Theorem 1conngra
Dummy variables  f 
k  n  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
2 snex 4654 . . . . . . . 8  |-  { A }  e.  _V
31, 2jctil 544 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  ( { A }  e.  _V  /\  E  e.  V ) )
4 snidg 4005 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  { A } )
54adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  A  e.  { A } )
6 0pthonv 25359 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  E  e.  V
)  ->  ( A  e.  { A }  ->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
73, 5, 6sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p )
8 oveq2 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  A  ->  ( A ( { A } PathOn  E ) n )  =  ( A ( { A } PathOn  E ) A ) )
98breqd 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  (
f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
1092exbidv 1780 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E )
n ) p  <->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
1110ralsng 4017 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
1211adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  ( A. n  e. 
{ A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) A ) p ) )
137, 12mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p )
14 oveq1 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  (
k ( { A } PathOn  E ) n )  =  ( A ( { A } PathOn  E ) n ) )
1514breqd 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  (
f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
16152exbidv 1780 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E )
n ) p  <->  E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
1716ralbidv 2838 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
1817ralsng 4017 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. k  e.  { A } A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
1918adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  ( A. k  e. 
{ A } A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p  <->  A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( A ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
2013, 19mpbird 240 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  A. k  e.  { A } A. n  e. 
{ A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p )
21 isconngra 25448 . . . . 5  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  E  e.  V
)  ->  ( { A } ConnGrph  E  <->  A. k  e.  { A } A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
223, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  ( { A } ConnGrph  E  <->  A. k  e.  { A } A. n  e.  { A } E. f E. p  f ( k ( { A } PathOn  E ) n ) p ) )
2320, 22mpbird 240 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  E  e.  V )  ->  { A } ConnGrph  E )
2423ex 440 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E )
)
25 snprc 4047 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
26 0conngra 25450 . . . 4  |-  ( E  e.  V  ->  (/) ConnGrph  E )
27 breq1 4418 . . . 4  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( { A } ConnGrph  E  <->  (/) ConnGrph  E ) )
2826, 27syl5ibr 229 . . 3  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E ) )
2925, 28sylbi 200 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E )
)
3024, 29pm2.61i 169 1  |-  ( E  e.  V  ->  { A } ConnGrph  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897   A.wral 2748   _Vcvv 3056   (/)c0 3742   {csn 3979   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   PathOn cpthon 25280   ConnGrph cconngra 25445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-hash 12547  df-word 12696  df-wlk 25284  df-trail 25285  df-pth 25286  df-wlkon 25290  df-pthon 25292  df-conngra 25446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator