MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arithlem2 Structured version   Unicode version

Theorem 1arithlem2 14301
Description: Lemma for 1arith 14304. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
1arithlem2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( M `  N ) `  P
)  =  ( P 
pCnt  N ) )
Distinct variable groups:    n, p, N    P, p
Allowed substitution hints:    P( n)    M( n, p)

Proof of Theorem 1arithlem2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . 4  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
211arithlem1 14300 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( M `  N )  =  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  N ) ) )
32fveq1d 5868 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( M `  N
) `  P )  =  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  N ) ) `  P ) )
4 oveq1 6291 . . 3  |-  ( p  =  P  ->  (
p  pCnt  N )  =  ( P  pCnt  N ) )
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  N ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  N ) )
6 ovex 6309 . . 3  |-  ( P 
pCnt  N )  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5950 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  N ) ) `  P )  =  ( P  pCnt  N )
)
83, 7sylan9eq 2528 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( M `  N ) `  P
)  =  ( P 
pCnt  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   NNcn 10536   Primecprime 14076    pCnt cpc 14219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-prm 14077
This theorem is referenced by:  1arithlem4  14303  1arith  14304
  Copyright terms: Public domain W3C validator