MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith2 Structured version   Unicode version

Theorem 1arith2 14448
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
1arith.2  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
1arith2  |-  A. z  e.  NN  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g
Distinct variable groups:    e, g, n, p, z    e, M, g    R, g, n
Allowed substitution hints:    R( z, e, p)    M( z, n, p)

Proof of Theorem 1arith2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . . . 6  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
2 1arith.2 . . . . . 6  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
31, 21arith 14447 . . . . 5  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
4 f1ocnv 5736 . . . . 5  |-  ( M : NN -1-1-onto-> R  ->  `' M : R -1-1-onto-> NN )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  `' M : R -1-1-onto-> NN
6 f1ofveu 6191 . . . 4  |-  ( ( `' M : R -1-1-onto-> NN  /\  z  e.  NN )  ->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z )
75, 6mpan 668 . . 3  |-  ( z  e.  NN  ->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z )
8 f1ocnvfvb 6086 . . . . 5  |-  ( ( M : NN -1-1-onto-> R  /\  z  e.  NN  /\  g  e.  R )  ->  (
( M `  z
)  =  g  <->  ( `' M `  g )  =  z ) )
93, 8mp3an1 1309 . . . 4  |-  ( ( z  e.  NN  /\  g  e.  R )  ->  ( ( M `  z )  =  g  <-> 
( `' M `  g )  =  z ) )
109reubidva 2966 . . 3  |-  ( z  e.  NN  ->  ( E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g  <->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z ) )
117, 10mpbird 232 . 2  |-  ( z  e.  NN  ->  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g )
1211rgen 2742 1  |-  A. z  e.  NN  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E!wreu 2734   {crab 2736    |-> cmpt 4425   `'ccnv 4912   "cima 4916   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   NNcn 10452   NN0cn0 10712   Primecprime 14219    pCnt cpc 14362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220  df-pc 14363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator