MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith2 Unicode version

Theorem 1arith2 12849
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
1arith.2  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
1arith2  |-  A. z  e.  NN  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g
Distinct variable groups:    e, g, n, p, z    e, M, g    R, g, n
Allowed substitution hints:    R( z, e, p)    M( z, n, p)

Proof of Theorem 1arith2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . . . 6  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
2 1arith.2 . . . . . 6  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
31, 21arith 12848 . . . . 5  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
4 f1ocnv 5342 . . . . 5  |-  ( M : NN -1-1-onto-> R  ->  `' M : R -1-1-onto-> NN )
53, 4ax-mp 10 . . . 4  |-  `' M : R -1-1-onto-> NN
6 f1ofveu 6225 . . . 4  |-  ( ( `' M : R -1-1-onto-> NN  /\  z  e.  NN )  ->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z )
75, 6mpan 654 . . 3  |-  ( z  e.  NN  ->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z )
8 f1ocnvfvb 5647 . . . . 5  |-  ( ( M : NN -1-1-onto-> R  /\  z  e.  NN  /\  g  e.  R )  ->  (
( M `  z
)  =  g  <->  ( `' M `  g )  =  z ) )
93, 8mp3an1 1269 . . . 4  |-  ( ( z  e.  NN  /\  g  e.  R )  ->  ( ( M `  z )  =  g  <-> 
( `' M `  g )  =  z ) )
109reubidva 2682 . . 3  |-  ( z  e.  NN  ->  ( E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g  <->  E! g  e.  R  ( `' M `  g )  =  z ) )
117, 10mpbird 225 . 2  |-  ( z  e.  NN  ->  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g )
1211rgen 2570 1  |-  A. z  e.  NN  E! g  e.  R  ( M `  z )  =  g
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E!wreu 2511   {crab 2512    e. cmpt 3974   `'ccnv 4579   "cima 4583   -1-1-onto->wf1o 4591   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658   Fincfn 6749   NNcn 9626   NN0cn0 9844   Primecprime 12632    pCnt cpc 12763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764
  Copyright terms: Public domain W3C validator