Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 1arith 14950
 Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations . (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1
1arith.2
Assertion
Ref Expression
1arith
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10970 . . . . . . 7
2 prmz 14705 . . . . . . . 8
32ssriv 3422 . . . . . . 7
41, 3ssexi 4541 . . . . . 6
54mptex 6152 . . . . 5
6 1arith.1 . . . . 5
75, 6fnmpti 5716 . . . 4
861arithlem3 14948 . . . . . . 7
9 nn0ex 10899 . . . . . . . 8
109, 4elmap 7518 . . . . . . 7
118, 10sylibr 217 . . . . . 6
12 fzfi 12223 . . . . . . 7
13 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
14 elpreima 6017 . . . . . . . . . 10
158, 13, 143syl 18 . . . . . . . . 9
1661arithlem2 14947 . . . . . . . . . . . 12
1716eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
19 dvdsle 14427 . . . . . . . . . . . . 13
202, 18, 19syl2anr 486 . . . . . . . . . . . 12
21 pcelnn 14898 . . . . . . . . . . . . 13
2221ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12
23 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . 14
24 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . 13
26 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . 13
27 elfz5 11818 . . . . . . . . . . . . 13
2825, 26, 27syl2anr 486 . . . . . . . . . . . 12
2920, 22, 283imtr4d 276 . . . . . . . . . . 11
3017, 29sylbid 223 . . . . . . . . . 10
3130expimpd 614 . . . . . . . . 9
3215, 31sylbid 223 . . . . . . . 8
3332ssrdv 3424 . . . . . . 7
34 ssfi 7810 . . . . . . 7
3512, 33, 34sylancr 676 . . . . . 6
36 cnveq 5013 . . . . . . . . 9
3736imaeq1d 5173 . . . . . . . 8
3837eleq1d 2533 . . . . . . 7
39 1arith.2 . . . . . . 7
4038, 39elrab2 3186 . . . . . 6
4111, 35, 40sylanbrc 677 . . . . 5
4241rgen 2766 . . . 4
43 ffnfv 6064 . . . 4
447, 42, 43mpbir2an 934 . . 3
4516adantlr 729 . . . . . . . 8
4661arithlem2 14947 . . . . . . . . 9
4746adantll 728 . . . . . . . 8
4845, 47eqeq12d 2486 . . . . . . 7
4948ralbidva 2828 . . . . . 6
5061arithlem3 14948 . . . . . . 7
51 ffn 5739 . . . . . . . 8
52 eqfnfv 5991 . . . . . . . 8
5313, 51, 52syl2an 485 . . . . . . 7
548, 50, 53syl2an 485 . . . . . 6
55 nnnn0 10900 . . . . . . 7
56 nnnn0 10900 . . . . . . 7
57 pc11 14908 . . . . . . 7
5855, 56, 57syl2an 485 . . . . . 6
5949, 54, 583bitr4d 293 . . . . 5
6059biimpd 212 . . . 4
6160rgen2a 2820 . . 3
62 dff13 6177 . . 3
6344, 61, 62mpbir2an 934 . 2
64 eqid 2471 . . . . . 6
65 cnveq 5013 . . . . . . . . . . . 12
6665imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . 11
6766eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10
6867, 39elrab2 3186 . . . . . . . . 9
6968simplbi 467 . . . . . . . 8
709, 4elmap 7518 . . . . . . . 8
7169, 70sylib 201 . . . . . . 7
7271ad2antrr 740 . . . . . 6
73 simplr 770 . . . . . . . . 9
74 0re 9661 . . . . . . . . 9
75 ifcl 3914 . . . . . . . . 9
7673, 74, 75sylancl 675 . . . . . . . 8
77 max1 11503 . . . . . . . . 9
7874, 73, 77sylancr 676 . . . . . . . 8
79 flge0nn0 12087 . . . . . . . 8
8076, 78, 79syl2anc 673 . . . . . . 7
81 nn0p1nn 10933 . . . . . . 7
8280, 81syl 17 . . . . . 6
8373adantr 472 . . . . . . . . . 10
8482adantr 472 . . . . . . . . . . 11
8584nnred 10646 . . . . . . . . . 10
86 zssre 10968 . . . . . . . . . . . 12
873, 86sstri 3427 . . . . . . . . . . 11
88 simprl 772 . . . . . . . . . . 11
8987, 88sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
9076adantr 472 . . . . . . . . . . 11
91 max2 11505 . . . . . . . . . . . 12
9274, 83, 91sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
93 flltp1 12069 . . . . . . . . . . . 12
9490, 93syl 17 . . . . . . . . . . 11
9583, 90, 85, 92, 94lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10
96 simprr 774 . . . . . . . . . 10
9783, 85, 89, 95, 96ltletrd 9812 . . . . . . . . 9
9883, 89ltnled 9799 . . . . . . . . 9
9997, 98mpbid 215 . . . . . . . 8
10088biantrurd 516 . . . . . . . . . 10
10172adantr 472 . . . . . . . . . . 11
102 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11
103 elpreima 6017 . . . . . . . . . . 11
104101, 102, 1033syl 18 . . . . . . . . . 10
105100, 104bitr4d 264 . . . . . . . . 9
106 simplr 770 . . . . . . . . . 10
107 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11
108107rspccv 3133 . . . . . . . . . 10
109106, 108syl 17 . . . . . . . . 9
110105, 109sylbid 223 . . . . . . . 8
11199, 110mtod 182 . . . . . . 7
112101, 88ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
113 elnn0 10895 . . . . . . . . 9
114112, 113sylib 201 . . . . . . . 8
115114ord 384 . . . . . . 7
116111, 115mpd 15 . . . . . 6
1176, 64, 72, 82, 1161arithlem4 14949 . . . . 5
118 cnvimass 5194 . . . . . . 7
119 fdm 5745 . . . . . . . . 9
12071, 119syl 17 . . . . . . . 8
121120, 87syl6eqss 3468 . . . . . . 7
122118, 121syl5ss 3429 . . . . . 6
12368simprbi 471 . . . . . 6
124 fimaxre2 10574 . . . . . 6
125122, 123, 124syl2anc 673 . . . . 5
126117, 125r19.29a 2918 . . . 4
127126rgen 2766 . . 3
128 dffo3 6052 . . 3
12944, 127, 128mpbir2an 934 . 2
130 df-f1o 5596 . 2
13163, 129, 130mpbir2an 934 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  wf1 5586  wfo 5587  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cfn 7587  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  cfl 12059  cexp 12310   cdvds 14382  cprime 14701   cpc 14865 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866 This theorem is referenced by:  1arith2  14951  sqff1o  24188
 Copyright terms: Public domain W3C validator