Theorem 1arith 14870

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
1arith.2	|- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
1arith	|- M : NN -1-1-onto-> R

Distinct variable groups:   e, n, p   e, M   R, n

Allowed substitution hints:   R( e, p)   M( n, p)

Proof of Theorem 1arith

Dummy variables f g k q x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 10953	. . . . . . 7 |- ZZ e. _V
2		prmz 14625	. . . . . . . 8 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
3	2	ssriv 3468	. . . . . . 7 |- Prime C_ ZZ
4	1, 3	ssexi 4569	. . . . . 6 |- Prime e. _V
5	4	mptex 6151	. . . . 5 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) e. _V
6		1arith.1	. . . . 5 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
7	5, 6	fnmpti 5724	. . . 4 |- M Fn NN
8	6	1arithlem3 14868	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
9		nn0ex 10882	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
10	9, 4	elmap 7511	. . . . . . 7 |- ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) <-> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
11	8, 10	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) )
12		fzfi 12191	. . . . . . 7 |- ( 1 ... x ) e. Fin
13		ffn 5746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 -> ( M ` x ) Fn Prime )
14		elpreima 6017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) Fn Prime -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
15	8, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
16	6	1arithlem2 14867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
17	16	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN <-> ( q pCnt x ) e. NN ) )
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. NN )
19		dvdsle 14349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ZZ /\ x e. NN ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
20	2, 18, 19	syl2anr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
21		pcelnn 14818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. Prime /\ x e. NN ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
22	21	ancoms 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
23		prmnn 14624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
24		nnuz 11201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	23, 24	syl6eleq 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		nnz 10966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
27		elfz5 11799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ x e. ZZ ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
28	25, 26, 27	syl2anr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
29	20, 22, 28	3imtr4d 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
30	17, 29	sylbid 218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
31	30	expimpd 606	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
32	15, 31	sylbid 218	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
33	32	ssrdv 3470	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) )
34		ssfi 7801	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... x ) e. Fin /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) ) -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
35	12, 33, 34	sylancr 667	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
36		cnveq 5027	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( M ` x ) -> `' e = `' ( M ` x ) )
37	36	imaeq1d 5186	. . . . . . . 8 |- ( e = ( M ` x ) -> ( `' e " NN ) = ( `' ( M ` x ) " NN ) )
38	37	eleq1d 2491	. . . . . . 7 |- ( e = ( M ` x ) -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
39		1arith.2	. . . . . . 7 |- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }
40	38, 39	elrab2 3230	. . . . . 6 |- ( ( M ` x ) e. R <-> ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
41	11, 35, 40	sylanbrc 668	. . . . 5 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. R )
42	41	rgen 2781	. . . 4 |- A. x e. NN ( M ` x ) e. R
43		ffnfv 6064	. . . 4 |- ( M : NN --> R <-> ( M Fn NN /\ A. x e. NN ( M ` x ) e. R ) )
44	7, 42, 43	mpbir2an 928	. . 3 |- M : NN --> R
45	16	adantlr 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
46	6	1arithlem2 14867	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
47	46	adantll 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
48	45, 47	eqeq12d 2444	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
49	48	ralbidva 2858	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
50	6	1arithlem3 14868	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( M ` y ) : Prime --> NN0 )
51		ffn 5746	. . . . . . . 8 |- ( ( M ` y ) : Prime --> NN0 -> ( M ` y ) Fn Prime )
52		eqfnfv 5991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ` x ) Fn Prime /\ ( M ` y ) Fn Prime ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
53	13, 51, 52	syl2an 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 /\ ( M ` y ) : Prime --> NN0 ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
54	8, 50, 53	syl2an 479	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
55		nnnn0 10883	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
56		nnnn0 10883	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
57		pc11 14828	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
58	55, 56, 57	syl2an 479	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
59	49, 54, 58	3bitr4d 288	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> x = y ) )
60	59	biimpd 210	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) )
61	60	rgen2a 2849	. . 3 |- A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y )
62		dff13 6174	. . 3 |- ( M : NN -1-1-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) ) )
63	44, 61, 62	mpbir2an 928	. 2 |- M : NN -1-1-> R
64		eqid 2422	. . . . . 6 |- ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) ) = ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) )
65		cnveq 5027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = f -> `' e = `' f )
66	65	imaeq1d 5186	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = f -> ( `' e " NN ) = ( `' f " NN ) )
67	66	eleq1d 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' f " NN ) e. Fin ) )
68	67, 39	elrab2 3230	. . . . . . . . 9 |- ( f e. R <-> ( f e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) )
69	68	simplbi 461	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> f e. ( NN0 ^m Prime ) )
70	9, 4	elmap 7511	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( NN0 ^m Prime ) <-> f : Prime --> NN0 )
71	69, 70	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> f : Prime --> NN0 )
72	71	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> f : Prime --> NN0 )
73		simplr 760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> y e. RR )
74		0re 9650	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
75		ifcl 3953	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
76	73, 74, 75	sylancl 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
77		max1 11487	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
78	74, 73, 77	sylancr 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
79		flge0nn0 12060	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) -> ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 )
80	76, 78, 79	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 )
81		nn0p1nn 10916	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
82	80, 81	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
83	73	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y e. RR )
84	82	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
85	84	nnred 10631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. RR )
86		zssre 10951	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ C_ RR
87	3, 86	sstri 3473	. . . . . . . . . . 11 |- Prime C_ RR
88		simprl 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> q e. Prime )
89	87, 88	sseldi 3462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> q e. RR )
90	76	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
91		max2 11489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
92	74, 83, 91	sylancr 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
93		flltp1 12042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
94	90, 93	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
95	83, 90, 85, 92, 94	lelttrd 9800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
96		simprr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q )
97	83, 85, 89, 95, 96	ltletrd 9802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y < q )
98	83, 89	ltnled 9789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( y < q <-> -. q <_ y ) )
99	97, 98	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> -. q <_ y )
100	88	biantrurd 510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
101	72	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> f : Prime --> NN0 )
102		ffn 5746	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : Prime --> NN0 -> f Fn Prime )
103		elpreima 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn Prime -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
104	101, 102, 103	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
105	100, 104	bitr4d 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> q e. ( `' f " NN ) ) )
106		simplr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
107		breq1 4426	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = q -> ( k <_ y <-> q <_ y ) )
108	107	rspccv 3179	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
109	106, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
110	105, 109	sylbid 218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN -> q <_ y ) )
111	99, 110	mtod 180	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> -. ( f ` q ) e. NN )
112	101, 88	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) e. NN0 )
113		elnn0 10878	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` q ) e. NN0 <-> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
114	112, 113	sylib 199	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
115	114	ord 378	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( -. ( f ` q ) e. NN -> ( f ` q ) = 0 ) )
116	111, 115	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) = 0 )
117	6, 64, 72, 82, 116	1arithlem4 14869	. . . . 5 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
118		cnvimass 5207	. . . . . . 7 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
119		fdm 5750	. . . . . . . . 9 |- ( f : Prime --> NN0 -> dom f = Prime )
120	71, 119	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> dom f = Prime )
121	120, 87	syl6eqss 3514	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> dom f C_ RR )
122	118, 121	syl5ss 3475	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) C_ RR )
123	68	simprbi 465	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) e. Fin )
124		fimaxre2 10559	. . . . . 6 |- ( ( ( `' f " NN ) C_ RR /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) -> E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
125	122, 123, 124	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( f e. R -> E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
126	117, 125	r19.29a 2967	. . . 4 |- ( f e. R -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
127	126	rgen 2781	. . 3 |- A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x )
128		dffo3 6052	. . 3 |- ( M : NN -onto-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
129	44, 127, 128	mpbir2an 928	. 2 |- M : NN -onto-> R
130		df-f1o 5608	. 2 |- ( M : NN -1-1-onto-> R <-> ( M : NN -1-1-> R /\ M : NN -onto-> R ) )
131	63, 129, 130	mpbir2an 928	1 |- M : NN -1-1-onto-> R

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   C_ wss 3436   ifcif 3911   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   "cima 4856   Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ^m cmap 7483   Fincfn 7580   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547   + caddc 9549   < clt 9682   <_ cle 9683   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791   |_cfl 12032   ^cexp 12278   || cdvds 14304   Primecprime 14621   pCnt cpc 14785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-pc 14786

This theorem is referenced by:  1arith2  14871  sqff1o  24107