Theorem 1arith 14950

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
1arith.2	|- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
1arith	|- M : NN -1-1-onto-> R

Distinct variable groups:   e, n, p   e, M   R, n

Allowed substitution hints:   R( e, p)   M( n, p)

Proof of Theorem 1arith

Dummy variables f g k q x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 10970	. . . . . . 7 |- ZZ e. _V
2		prmz 14705	. . . . . . . 8 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
3	2	ssriv 3422	. . . . . . 7 |- Prime C_ ZZ
4	1, 3	ssexi 4541	. . . . . 6 |- Prime e. _V
5	4	mptex 6152	. . . . 5 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) e. _V
6		1arith.1	. . . . 5 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
7	5, 6	fnmpti 5716	. . . 4 |- M Fn NN
8	6	1arithlem3 14948	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
9		nn0ex 10899	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
10	9, 4	elmap 7518	. . . . . . 7 |- ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) <-> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
11	8, 10	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) )
12		fzfi 12223	. . . . . . 7 |- ( 1 ... x ) e. Fin
13		ffn 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 -> ( M ` x ) Fn Prime )
14		elpreima 6017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) Fn Prime -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
15	8, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
16	6	1arithlem2 14947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
17	16	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN <-> ( q pCnt x ) e. NN ) )
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. NN )
19		dvdsle 14427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ZZ /\ x e. NN ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
20	2, 18, 19	syl2anr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
21		pcelnn 14898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. Prime /\ x e. NN ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
22	21	ancoms 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
23		prmnn 14704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
24		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	23, 24	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		nnz 10983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
27		elfz5 11818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ x e. ZZ ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
28	25, 26, 27	syl2anr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
29	20, 22, 28	3imtr4d 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
30	17, 29	sylbid 223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
31	30	expimpd 614	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
32	15, 31	sylbid 223	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
33	32	ssrdv 3424	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) )
34		ssfi 7810	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... x ) e. Fin /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) ) -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
35	12, 33, 34	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
36		cnveq 5013	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( M ` x ) -> `' e = `' ( M ` x ) )
37	36	imaeq1d 5173	. . . . . . . 8 |- ( e = ( M ` x ) -> ( `' e " NN ) = ( `' ( M ` x ) " NN ) )
38	37	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( e = ( M ` x ) -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
39		1arith.2	. . . . . . 7 |- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }
40	38, 39	elrab2 3186	. . . . . 6 |- ( ( M ` x ) e. R <-> ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
41	11, 35, 40	sylanbrc 677	. . . . 5 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. R )
42	41	rgen 2766	. . . 4 |- A. x e. NN ( M ` x ) e. R
43		ffnfv 6064	. . . 4 |- ( M : NN --> R <-> ( M Fn NN /\ A. x e. NN ( M ` x ) e. R ) )
44	7, 42, 43	mpbir2an 934	. . 3 |- M : NN --> R
45	16	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
46	6	1arithlem2 14947	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
47	46	adantll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
48	45, 47	eqeq12d 2486	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
49	48	ralbidva 2828	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
50	6	1arithlem3 14948	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( M ` y ) : Prime --> NN0 )
51		ffn 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( M ` y ) : Prime --> NN0 -> ( M ` y ) Fn Prime )
52		eqfnfv 5991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ` x ) Fn Prime /\ ( M ` y ) Fn Prime ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
53	13, 51, 52	syl2an 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 /\ ( M ` y ) : Prime --> NN0 ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
54	8, 50, 53	syl2an 485	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
55		nnnn0 10900	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
56		nnnn0 10900	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
57		pc11 14908	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
58	55, 56, 57	syl2an 485	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
59	49, 54, 58	3bitr4d 293	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> x = y ) )
60	59	biimpd 212	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) )
61	60	rgen2a 2820	. . 3 |- A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y )
62		dff13 6177	. . 3 |- ( M : NN -1-1-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) ) )
63	44, 61, 62	mpbir2an 934	. 2 |- M : NN -1-1-> R
64		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) ) = ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) )
65		cnveq 5013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = f -> `' e = `' f )
66	65	imaeq1d 5173	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = f -> ( `' e " NN ) = ( `' f " NN ) )
67	66	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' f " NN ) e. Fin ) )
68	67, 39	elrab2 3186	. . . . . . . . 9 |- ( f e. R <-> ( f e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) )
69	68	simplbi 467	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> f e. ( NN0 ^m Prime ) )
70	9, 4	elmap 7518	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( NN0 ^m Prime ) <-> f : Prime --> NN0 )
71	69, 70	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> f : Prime --> NN0 )
72	71	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> f : Prime --> NN0 )
73		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> y e. RR )
74		0re 9661	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
75		ifcl 3914	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
76	73, 74, 75	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
77		max1 11503	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
78	74, 73, 77	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
79		flge0nn0 12087	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) -> ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 )
80	76, 78, 79	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 )
81		nn0p1nn 10933	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
82	80, 81	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
83	73	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y e. RR )
84	82	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
85	84	nnred 10646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. RR )
86		zssre 10968	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ C_ RR
87	3, 86	sstri 3427	. . . . . . . . . . 11 |- Prime C_ RR
88		simprl 772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> q e. Prime )
89	87, 88	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> q e. RR )
90	76	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
91		max2 11505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
92	74, 83, 91	sylancr 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
93		flltp1 12069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
94	90, 93	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
95	83, 90, 85, 92, 94	lelttrd 9810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
96		simprr 774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q )
97	83, 85, 89, 95, 96	ltletrd 9812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y < q )
98	83, 89	ltnled 9799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( y < q <-> -. q <_ y ) )
99	97, 98	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> -. q <_ y )
100	88	biantrurd 516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
101	72	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> f : Prime --> NN0 )
102		ffn 5739	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : Prime --> NN0 -> f Fn Prime )
103		elpreima 6017	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn Prime -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
104	101, 102, 103	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
105	100, 104	bitr4d 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> q e. ( `' f " NN ) ) )
106		simplr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
107		breq1 4398	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = q -> ( k <_ y <-> q <_ y ) )
108	107	rspccv 3133	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
109	106, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
110	105, 109	sylbid 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN -> q <_ y ) )
111	99, 110	mtod 182	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> -. ( f ` q ) e. NN )
112	101, 88	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) e. NN0 )
113		elnn0 10895	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` q ) e. NN0 <-> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
114	112, 113	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
115	114	ord 384	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( -. ( f ` q ) e. NN -> ( f ` q ) = 0 ) )
116	111, 115	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) = 0 )
117	6, 64, 72, 82, 116	1arithlem4 14949	. . . . 5 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
118		cnvimass 5194	. . . . . . 7 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
119		fdm 5745	. . . . . . . . 9 |- ( f : Prime --> NN0 -> dom f = Prime )
120	71, 119	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> dom f = Prime )
121	120, 87	syl6eqss 3468	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> dom f C_ RR )
122	118, 121	syl5ss 3429	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) C_ RR )
123	68	simprbi 471	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) e. Fin )
124		fimaxre2 10574	. . . . . 6 |- ( ( ( `' f " NN ) C_ RR /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) -> E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
125	122, 123, 124	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( f e. R -> E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
126	117, 125	r19.29a 2918	. . . 4 |- ( f e. R -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
127	126	rgen 2766	. . 3 |- A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x )
128		dffo3 6052	. . 3 |- ( M : NN -onto-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
129	44, 127, 128	mpbir2an 934	. 2 |- M : NN -onto-> R
130		df-f1o 5596	. 2 |- ( M : NN -1-1-onto-> R <-> ( M : NN -1-1-> R /\ M : NN -onto-> R ) )
131	63, 129, 130	mpbir2an 934	1 |- M : NN -1-1-onto-> R

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   |_cfl 12059   ^cexp 12310   || cdvds 14382   Primecprime 14701   pCnt cpc 14865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866

This theorem is referenced by:  1arith2  14951  sqff1o  24188