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Theorem 1arith 14300
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function  M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations  R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
1arith.2  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
1arith  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
Distinct variable groups:    e, n, p    e, M    R, n
Allowed substitution hints:    R( e, p)    M( n, p)

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables  f 
g  k  q  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10869 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
2 prmz 14076 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ZZ )
32ssriv 3508 . . . . . . 7  |-  Prime  C_  ZZ
41, 3ssexi 4592 . . . . . 6  |-  Prime  e.  _V
54mptex 6129 . . . . 5  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e. 
_V
6 1arith.1 . . . . 5  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
75, 6fnmpti 5707 . . . 4  |-  M  Fn  NN
861arithlem3 14298 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x ) : Prime --> NN0 )
9 nn0ex 10797 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
109, 4elmap 7444 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime )  <->  ( M `  x ) : Prime --> NN0 )
118, 10sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime ) )
12 fzfi 12046 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... x )  e. 
Fin
13 ffn 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  x ) : Prime --> NN0  ->  ( M `  x )  Fn  Prime )
14 elpreima 5999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  x )  Fn  Prime  ->  ( q  e.  ( `' ( M `  x )
" NN )  <->  ( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q )  e.  NN ) ) )
158, 13, 143syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
q  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  <-> 
( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q
)  e.  NN ) ) )
1661arithlem2 14297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( M `  x ) `  q
)  =  ( q 
pCnt  x ) )
1716eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( M `
 x ) `  q )  e.  NN  <->  ( q  pCnt  x )  e.  NN ) )
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN )
19 dvdsle 13886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  ->  ( q  ||  x  ->  q  <_  x )
)
202, 18, 19syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( q  ||  x  ->  q  <_  x )
)
21 pcelnn 14248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  x  e.  NN )  ->  (
( q  pCnt  x
)  e.  NN  <->  q  ||  x ) )
2221ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( q  pCnt  x )  e.  NN  <->  q  ||  x ) )
23 prmnn 14075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
24 nnuz 11113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
26 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
27 elfz5 11676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
q  e.  ( 1 ... x )  <->  q  <_  x ) )
2825, 26, 27syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( q  e.  ( 1 ... x )  <-> 
q  <_  x )
)
2920, 22, 283imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( q  pCnt  x )  e.  NN  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3017, 29sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( M `
 x ) `  q )  e.  NN  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3130expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q
)  e.  NN )  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3215, 31sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  (
q  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3332ssrdv 3510 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  ( `' ( M `  x ) " NN )  C_  ( 1 ... x ) )
34 ssfi 7737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... x
)  e.  Fin  /\  ( `' ( M `  x ) " NN )  C_  ( 1 ... x ) )  -> 
( `' ( M `
 x ) " NN )  e.  Fin )
3512, 33, 34sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  ( `' ( M `  x ) " NN )  e.  Fin )
36 cnveq 5174 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  `' e  =  `' ( M `  x )
)
3736imaeq1d 5334 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  ( `' e " NN )  =  ( `' ( M `  x )
" NN ) )
3837eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  (
( `' e " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( M `  x ) " NN )  e.  Fin )
)
39 1arith.2 . . . . . . 7  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
4038, 39elrab2 3263 . . . . . 6  |-  ( ( M `  x )  e.  R  <->  ( ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime )  /\  ( `' ( M `  x )
" NN )  e. 
Fin ) )
4111, 35, 40sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x )  e.  R )
4241rgen 2824 . . . 4  |-  A. x  e.  NN  ( M `  x )  e.  R
43 ffnfv 6045 . . . 4  |-  ( M : NN --> R  <->  ( M  Fn  NN  /\  A. x  e.  NN  ( M `  x )  e.  R
) )
447, 42, 43mpbir2an 918 . . 3  |-  M : NN
--> R
4516adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 x ) `  q )  =  ( q  pCnt  x )
)
4661arithlem2 14297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( M `  y ) `  q
)  =  ( q 
pCnt  y ) )
4746adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 y ) `  q )  =  ( q  pCnt  y )
)
4845, 47eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( ( M `  x ) `
 q )  =  ( ( M `  y ) `  q
)  <->  ( q  pCnt  x )  =  ( q 
pCnt  y ) ) )
4948ralbidva 2900 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. q  e. 
Prime  ( ( M `  x ) `  q
)  =  ( ( M `  y ) `
 q )  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q 
pCnt  y ) ) )
5061arithlem3 14298 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( M `  y ) : Prime --> NN0 )
51 ffn 5729 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  y ) : Prime --> NN0  ->  ( M `  y )  Fn  Prime )
52 eqfnfv 5973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M `  x
)  Fn  Prime  /\  ( M `  y )  Fn  Prime )  ->  (
( M `  x
)  =  ( M `
 y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `
 x ) `  q )  =  ( ( M `  y
) `  q )
) )
5313, 51, 52syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M `  x
) : Prime --> NN0  /\  ( M `  y ) : Prime --> NN0 )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `  x
) `  q )  =  ( ( M `
 y ) `  q ) ) )
548, 50, 53syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `  x
) `  q )  =  ( ( M `
 y ) `  q ) ) )
55 nnnn0 10798 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
56 nnnn0 10798 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
57 pc11 14258 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  =  y  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q  pCnt  y ) ) )
5855, 56, 57syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  y  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q  pCnt  y ) ) )
5949, 54, 583bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <-> 
x  =  y ) )
6059biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  ->  x  =  y ) )
6160rgen2a 2891 . . 3  |-  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( ( M `
 x )  =  ( M `  y
)  ->  x  =  y )
62 dff13 6152 . . 3  |-  ( M : NN -1-1-> R  <->  ( M : NN --> R  /\  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( ( M `
 x )  =  ( M `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
6344, 61, 62mpbir2an 918 . 2  |-  M : NN
-1-1-> R
64 cnvimass 5355 . . . . . . 7  |-  ( `' f " NN ) 
C_  dom  f
65 cnveq 5174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  f  ->  `' e  =  `' f
)
6665imaeq1d 5334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  f  ->  ( `' e " NN )  =  ( `' f " NN ) )
6766eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  f  ->  (
( `' e " NN )  e.  Fin  <->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
)
6867, 39elrab2 3263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  R  <->  ( f  e.  ( NN0  ^m  Prime )  /\  ( `' f
" NN )  e. 
Fin ) )
6968simplbi 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  R  ->  f  e.  ( NN0  ^m  Prime ) )
709, 4elmap 7444 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  Prime )  <->  f : Prime --> NN0 )
7169, 70sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  R  ->  f : Prime --> NN0 )
72 fdm 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( f : Prime --> NN0  ->  dom  f  =  Prime )
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  R  ->  dom  f  =  Prime )
74 zssre 10867 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
753, 74sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  Prime  C_  RR
7673, 75syl6eqss 3554 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  R  ->  dom  f  C_  RR )
7764, 76syl5ss 3515 . . . . . 6  |-  ( f  e.  R  ->  ( `' f " NN )  C_  RR )
7868simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( f  e.  R  ->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
79 fimaxre2 10487 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' f " NN )  C_  RR  /\  ( `' f " NN )  e.  Fin )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )
8077, 78, 79syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( f  e.  R  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)
81 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  NN  |->  if ( g  e.  Prime ,  ( g ^ ( f `
 g ) ) ,  1 ) )  =  ( g  e.  NN  |->  if ( g  e.  Prime ,  ( g ^ ( f `  g ) ) ,  1 ) )
8271ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  f : Prime --> NN0 )
83 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
84 0re 9592 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
85 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR )
8683, 84, 85sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
87 max1 11382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
8884, 83, 87sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
89 flge0nn0 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  ->  ( |_ `  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  e. 
NN0 )
9086, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  ( |_ `  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  e. 
NN0 )
91 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  NN )
9290, 91syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  NN )
9383adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  e.  RR )
9492adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  NN )
9594nnred 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR )
96 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  Prime )
9775, 96sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  RR )
9886adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
99 max2 11384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
10084, 93, 99sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
101 flltp1 11901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 ) )  +  1 ) )
10298, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  <  ( ( |_
`  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 ) )
10393, 98, 95, 100, 102lelttrd 9735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 ) )
104 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_ 
q )
10593, 95, 97, 103, 104ltletrd 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <  q )
10693, 97ltnled 9727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( y  <  q  <->  -.  q  <_  y ) )
107105, 106mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  -.  q  <_  y )
10896biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  <->  ( q  e. 
Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
10982adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  f : Prime --> NN0 )
110 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : Prime --> NN0  ->  f  Fn  Prime )
111 elpreima 5999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  Prime  ->  ( q  e.  ( `' f
" NN )  <->  ( q  e.  Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
112109, 110, 1113syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( q  e.  ( `' f " NN )  <->  ( q  e. 
Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
113108, 112bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  <->  q  e.  ( `' f " NN ) ) )
114 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)
115 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  q  ->  (
k  <_  y  <->  q  <_  y ) )
116115rspccv 3211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  (
q  e.  ( `' f " NN )  ->  q  <_  y
) )
117114, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( q  e.  ( `' f " NN )  ->  q  <_ 
y ) )
118113, 117sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  ->  q  <_  y ) )
119107, 118mtod 177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  -.  (
f `  q )  e.  NN )
120109, 96ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( f `  q )  e.  NN0 )
121 elnn0 10793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  q )  e.  NN0  <->  ( ( f `
 q )  e.  NN  \/  ( f `
 q )  =  0 ) )
122120, 121sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  \/  ( f `
 q )  =  0 ) )
123122ord 377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( -.  ( f `  q
)  e.  NN  ->  ( f `  q )  =  0 ) )
124119, 123mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( f `  q )  =  0 )
1256, 81, 82, 92, 1241arithlem4 14299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) )
126125ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
127126rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( f  e.  R  ->  ( E. y  e.  RR  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
12880, 127mpd 15 . . . 4  |-  ( f  e.  R  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) )
129128rgen 2824 . . 3  |-  A. f  e.  R  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x )
130 dffo3 6034 . . 3  |-  ( M : NN -onto-> R  <->  ( M : NN --> R  /\  A. f  e.  R  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
13144, 129, 130mpbir2an 918 . 2  |-  M : NN -onto-> R
132 df-f1o 5593 . 2  |-  ( M : NN -1-1-onto-> R  <->  ( M : NN
-1-1-> R  /\  M : NN -onto-> R ) )
13363, 131, 132mpbir2an 918 1  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   |_cfl 11891   ^cexp 12130    || cdivides 13843   Primecprime 14072    pCnt cpc 14215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216
This theorem is referenced by:  1arith2  14301  sqff1o  23184
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