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Theorem 1arith 13980
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function  M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations  R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
1arith.2  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
1arith  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
Distinct variable groups:    e, n, p    e, M    R, n
Allowed substitution hints:    R( e, p)    M( n, p)

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables  f 
g  k  q  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10647 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
2 prmz 13759 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ZZ )
32ssriv 3355 . . . . . . 7  |-  Prime  C_  ZZ
41, 3ssexi 4432 . . . . . 6  |-  Prime  e.  _V
54mptex 5943 . . . . 5  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e. 
_V
6 1arith.1 . . . . 5  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
75, 6fnmpti 5534 . . . 4  |-  M  Fn  NN
861arithlem3 13978 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x ) : Prime --> NN0 )
9 nn0ex 10577 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
109, 4elmap 7233 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime )  <->  ( M `  x ) : Prime --> NN0 )
118, 10sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime ) )
12 fzfi 11786 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... x )  e. 
Fin
13 ffn 5554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  x ) : Prime --> NN0  ->  ( M `  x )  Fn  Prime )
14 elpreima 5818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  x )  Fn  Prime  ->  ( q  e.  ( `' ( M `  x )
" NN )  <->  ( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q )  e.  NN ) ) )
158, 13, 143syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
q  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  <-> 
( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q
)  e.  NN ) ) )
1661arithlem2 13977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( M `  x ) `  q
)  =  ( q 
pCnt  x ) )
1716eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( M `
 x ) `  q )  e.  NN  <->  ( q  pCnt  x )  e.  NN ) )
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN )
19 dvdsle 13570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  ->  ( q  ||  x  ->  q  <_  x )
)
202, 18, 19syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( q  ||  x  ->  q  <_  x )
)
21 pcelnn 13928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  x  e.  NN )  ->  (
( q  pCnt  x
)  e.  NN  <->  q  ||  x ) )
2221ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( q  pCnt  x )  e.  NN  <->  q  ||  x ) )
23 prmnn 13758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
24 nnuz 10888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
26 nnz 10660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
27 elfz5 11437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
q  e.  ( 1 ... x )  <->  q  <_  x ) )
2825, 26, 27syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( q  e.  ( 1 ... x )  <-> 
q  <_  x )
)
2920, 22, 283imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( q  pCnt  x )  e.  NN  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3017, 29sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( M `
 x ) `  q )  e.  NN  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3130expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q
)  e.  NN )  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3215, 31sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  (
q  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3332ssrdv 3357 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  ( `' ( M `  x ) " NN )  C_  ( 1 ... x ) )
34 ssfi 7525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... x
)  e.  Fin  /\  ( `' ( M `  x ) " NN )  C_  ( 1 ... x ) )  -> 
( `' ( M `
 x ) " NN )  e.  Fin )
3512, 33, 34sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  ( `' ( M `  x ) " NN )  e.  Fin )
36 cnveq 5008 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  `' e  =  `' ( M `  x )
)
3736imaeq1d 5163 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  ( `' e " NN )  =  ( `' ( M `  x )
" NN ) )
3837eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  (
( `' e " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( M `  x ) " NN )  e.  Fin )
)
39 1arith.2 . . . . . . 7  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
4038, 39elrab2 3114 . . . . . 6  |-  ( ( M `  x )  e.  R  <->  ( ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime )  /\  ( `' ( M `  x )
" NN )  e. 
Fin ) )
4111, 35, 40sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x )  e.  R )
4241rgen 2776 . . . 4  |-  A. x  e.  NN  ( M `  x )  e.  R
43 ffnfv 5864 . . . 4  |-  ( M : NN --> R  <->  ( M  Fn  NN  /\  A. x  e.  NN  ( M `  x )  e.  R
) )
447, 42, 43mpbir2an 911 . . 3  |-  M : NN
--> R
4516adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 x ) `  q )  =  ( q  pCnt  x )
)
4661arithlem2 13977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( M `  y ) `  q
)  =  ( q 
pCnt  y ) )
4746adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 y ) `  q )  =  ( q  pCnt  y )
)
4845, 47eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( ( M `  x ) `
 q )  =  ( ( M `  y ) `  q
)  <->  ( q  pCnt  x )  =  ( q 
pCnt  y ) ) )
4948ralbidva 2726 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. q  e. 
Prime  ( ( M `  x ) `  q
)  =  ( ( M `  y ) `
 q )  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q 
pCnt  y ) ) )
5061arithlem3 13978 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( M `  y ) : Prime --> NN0 )
51 ffn 5554 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  y ) : Prime --> NN0  ->  ( M `  y )  Fn  Prime )
52 eqfnfv 5792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M `  x
)  Fn  Prime  /\  ( M `  y )  Fn  Prime )  ->  (
( M `  x
)  =  ( M `
 y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `
 x ) `  q )  =  ( ( M `  y
) `  q )
) )
5313, 51, 52syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M `  x
) : Prime --> NN0  /\  ( M `  y ) : Prime --> NN0 )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `  x
) `  q )  =  ( ( M `
 y ) `  q ) ) )
548, 50, 53syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `  x
) `  q )  =  ( ( M `
 y ) `  q ) ) )
55 nnnn0 10578 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
56 nnnn0 10578 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
57 pc11 13938 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  =  y  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q  pCnt  y ) ) )
5855, 56, 57syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  y  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q  pCnt  y ) ) )
5949, 54, 583bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <-> 
x  =  y ) )
6059biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  ->  x  =  y ) )
6160rgen2a 2777 . . 3  |-  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( ( M `
 x )  =  ( M `  y
)  ->  x  =  y )
62 dff13 5966 . . 3  |-  ( M : NN -1-1-> R  <->  ( M : NN --> R  /\  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( ( M `
 x )  =  ( M `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
6344, 61, 62mpbir2an 911 . 2  |-  M : NN
-1-1-> R
64 cnvimass 5184 . . . . . . 7  |-  ( `' f " NN ) 
C_  dom  f
65 cnveq 5008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  f  ->  `' e  =  `' f
)
6665imaeq1d 5163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  f  ->  ( `' e " NN )  =  ( `' f " NN ) )
6766eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  f  ->  (
( `' e " NN )  e.  Fin  <->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
)
6867, 39elrab2 3114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  R  <->  ( f  e.  ( NN0  ^m  Prime )  /\  ( `' f
" NN )  e. 
Fin ) )
6968simplbi 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  R  ->  f  e.  ( NN0  ^m  Prime ) )
709, 4elmap 7233 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  Prime )  <->  f : Prime --> NN0 )
7169, 70sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  R  ->  f : Prime --> NN0 )
72 fdm 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( f : Prime --> NN0  ->  dom  f  =  Prime )
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  R  ->  dom  f  =  Prime )
74 zssre 10645 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
753, 74sstri 3360 . . . . . . . 8  |-  Prime  C_  RR
7673, 75syl6eqss 3401 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  R  ->  dom  f  C_  RR )
7764, 76syl5ss 3362 . . . . . 6  |-  ( f  e.  R  ->  ( `' f " NN )  C_  RR )
7868simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( f  e.  R  ->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
79 fimaxre2 10270 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' f " NN )  C_  RR  /\  ( `' f " NN )  e.  Fin )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )
8077, 78, 79syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( f  e.  R  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)
81 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  NN  |->  if ( g  e.  Prime ,  ( g ^ ( f `
 g ) ) ,  1 ) )  =  ( g  e.  NN  |->  if ( g  e.  Prime ,  ( g ^ ( f `  g ) ) ,  1 ) )
8271ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  f : Prime --> NN0 )
83 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
84 0re 9378 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
85 ifcl 3826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR )
8683, 84, 85sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
87 max1 11149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
8884, 83, 87sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
89 flge0nn0 11658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  ->  ( |_ `  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  e. 
NN0 )
9086, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  ( |_ `  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  e. 
NN0 )
91 nn0p1nn 10611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  NN )
9290, 91syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  NN )
9383adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  e.  RR )
9492adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  NN )
9594nnred 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR )
96 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  Prime )
9775, 96sseldi 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  RR )
9886adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
99 max2 11151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
10084, 93, 99sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
101 flltp1 11642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 ) )  +  1 ) )
10298, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  <  ( ( |_
`  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 ) )
10393, 98, 95, 100, 102lelttrd 9521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 ) )
104 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_ 
q )
10593, 95, 97, 103, 104ltletrd 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <  q )
10693, 97ltnled 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( y  <  q  <->  -.  q  <_  y ) )
107105, 106mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  -.  q  <_  y )
10896biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  <->  ( q  e. 
Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
10982adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  f : Prime --> NN0 )
110 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : Prime --> NN0  ->  f  Fn  Prime )
111 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  Prime  ->  ( q  e.  ( `' f
" NN )  <->  ( q  e.  Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
112109, 110, 1113syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( q  e.  ( `' f " NN )  <->  ( q  e. 
Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
113108, 112bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  <->  q  e.  ( `' f " NN ) ) )
114 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)
115 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  q  ->  (
k  <_  y  <->  q  <_  y ) )
116115rspccv 3065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  (
q  e.  ( `' f " NN )  ->  q  <_  y
) )
117114, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( q  e.  ( `' f " NN )  ->  q  <_ 
y ) )
118113, 117sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  ->  q  <_  y ) )
119107, 118mtod 177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  -.  (
f `  q )  e.  NN )
120109, 96ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( f `  q )  e.  NN0 )
121 elnn0 10573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  q )  e.  NN0  <->  ( ( f `
 q )  e.  NN  \/  ( f `
 q )  =  0 ) )
122120, 121sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  \/  ( f `
 q )  =  0 ) )
123122ord 377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( -.  ( f `  q
)  e.  NN  ->  ( f `  q )  =  0 ) )
124119, 123mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( f `  q )  =  0 )
1256, 81, 82, 92, 1241arithlem4 13979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) )
126125ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
127126rexlimdva 2836 . . . . 5  |-  ( f  e.  R  ->  ( E. y  e.  RR  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
12880, 127mpd 15 . . . 4  |-  ( f  e.  R  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) )
129128rgen 2776 . . 3  |-  A. f  e.  R  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x )
130 dffo3 5853 . . 3  |-  ( M : NN -onto-> R  <->  ( M : NN --> R  /\  A. f  e.  R  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
13144, 129, 130mpbir2an 911 . 2  |-  M : NN -onto-> R
132 df-f1o 5420 . 2  |-  ( M : NN -1-1-onto-> R  <->  ( M : NN
-1-1-> R  /\  M : NN -onto-> R ) )
13363, 131, 132mpbir2an 911 1  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714    C_ wss 3323   ifcif 3786   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429   |_cfl 11632   ^cexp 11857    || cdivides 13527   Primecprime 13755    pCnt cpc 13895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896
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