Theorem 1arith 14300

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
1arith.2	|- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
1arith	|- M : NN -1-1-onto-> R

Distinct variable groups:   e, n, p   e, M   R, n

Allowed substitution hints:   R( e, p)   M( n, p)

Proof of Theorem 1arith

Dummy variables f g k q x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 10869	. . . . . . 7 |- ZZ e. _V
2		prmz 14076	. . . . . . . 8 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
3	2	ssriv 3508	. . . . . . 7 |- Prime C_ ZZ
4	1, 3	ssexi 4592	. . . . . 6 |- Prime e. _V
5	4	mptex 6129	. . . . 5 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) e. _V
6		1arith.1	. . . . 5 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
7	5, 6	fnmpti 5707	. . . 4 |- M Fn NN
8	6	1arithlem3 14298	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
9		nn0ex 10797	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
10	9, 4	elmap 7444	. . . . . . 7 |- ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) <-> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
11	8, 10	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) )
12		fzfi 12046	. . . . . . 7 |- ( 1 ... x ) e. Fin
13		ffn 5729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 -> ( M ` x ) Fn Prime )
14		elpreima 5999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) Fn Prime -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
15	8, 13, 14	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
16	6	1arithlem2 14297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
17	16	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN <-> ( q pCnt x ) e. NN ) )
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. NN )
19		dvdsle 13886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ZZ /\ x e. NN ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
20	2, 18, 19	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
21		pcelnn 14248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. Prime /\ x e. NN ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
22	21	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
23		prmnn 14075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
24		nnuz 11113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	23, 24	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		nnz 10882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
27		elfz5 11676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ x e. ZZ ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
28	25, 26, 27	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
29	20, 22, 28	3imtr4d 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
30	17, 29	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
31	30	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
32	15, 31	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
33	32	ssrdv 3510	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) )
34		ssfi 7737	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... x ) e. Fin /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) ) -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
35	12, 33, 34	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
36		cnveq 5174	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( M ` x ) -> `' e = `' ( M ` x ) )
37	36	imaeq1d 5334	. . . . . . . 8 |- ( e = ( M ` x ) -> ( `' e " NN ) = ( `' ( M ` x ) " NN ) )
38	37	eleq1d 2536	. . . . . . 7 |- ( e = ( M ` x ) -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
39		1arith.2	. . . . . . 7 |- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }
40	38, 39	elrab2 3263	. . . . . 6 |- ( ( M ` x ) e. R <-> ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
41	11, 35, 40	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. R )
42	41	rgen 2824	. . . 4 |- A. x e. NN ( M ` x ) e. R
43		ffnfv 6045	. . . 4 |- ( M : NN --> R <-> ( M Fn NN /\ A. x e. NN ( M ` x ) e. R ) )
44	7, 42, 43	mpbir2an 918	. . 3 |- M : NN --> R
45	16	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
46	6	1arithlem2 14297	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
47	46	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
48	45, 47	eqeq12d 2489	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
49	48	ralbidva 2900	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
50	6	1arithlem3 14298	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( M ` y ) : Prime --> NN0 )
51		ffn 5729	. . . . . . . 8 |- ( ( M ` y ) : Prime --> NN0 -> ( M ` y ) Fn Prime )
52		eqfnfv 5973	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ` x ) Fn Prime /\ ( M ` y ) Fn Prime ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
53	13, 51, 52	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 /\ ( M ` y ) : Prime --> NN0 ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
54	8, 50, 53	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
55		nnnn0 10798	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
56		nnnn0 10798	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
57		pc11 14258	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
58	55, 56, 57	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
59	49, 54, 58	3bitr4d 285	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> x = y ) )
60	59	biimpd 207	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) )
61	60	rgen2a 2891	. . 3 |- A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y )
62		dff13 6152	. . 3 |- ( M : NN -1-1-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) ) )
63	44, 61, 62	mpbir2an 918	. 2 |- M : NN -1-1-> R
64		cnvimass 5355	. . . . . . 7 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
65		cnveq 5174	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = f -> `' e = `' f )
66	65	imaeq1d 5334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = f -> ( `' e " NN ) = ( `' f " NN ) )
67	66	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = f -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' f " NN ) e. Fin ) )
68	67, 39	elrab2 3263	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. R <-> ( f e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) )
69	68	simplbi 460	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. R -> f e. ( NN0 ^m Prime ) )
70	9, 4	elmap 7444	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( NN0 ^m Prime ) <-> f : Prime --> NN0 )
71	69, 70	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( f e. R -> f : Prime --> NN0 )
72		fdm 5733	. . . . . . . . 9 |- ( f : Prime --> NN0 -> dom f = Prime )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> dom f = Prime )
74		zssre 10867	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
75	3, 74	sstri 3513	. . . . . . . 8 |- Prime C_ RR
76	73, 75	syl6eqss 3554	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> dom f C_ RR )
77	64, 76	syl5ss 3515	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) C_ RR )
78	68	simprbi 464	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) e. Fin )
79		fimaxre2 10487	. . . . . 6 |- ( ( ( `' f " NN ) C_ RR /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) -> E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
80	77, 78, 79	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( f e. R -> E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
81		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) ) = ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) )
82	71	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> f : Prime --> NN0 )
83		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> y e. RR )
84		0re 9592	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
85		ifcl 3981	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
86	83, 84, 85	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
87		max1 11382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
88	84, 83, 87	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
89		flge0nn0 11918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) -> ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 )
90	86, 88, 89	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 )
91		nn0p1nn 10831	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
92	90, 91	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
93	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y e. RR )
94	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
95	94	nnred 10547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. RR )
96		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> q e. Prime )
97	75, 96	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> q e. RR )
98	86	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
99		max2 11384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
100	84, 93, 99	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
101		flltp1 11901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
102	98, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
103	93, 98, 95, 100, 102	lelttrd 9735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
104		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q )
105	93, 95, 97, 103, 104	ltletrd 9737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y < q )
106	93, 97	ltnled 9727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( y < q <-> -. q <_ y ) )
107	105, 106	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> -. q <_ y )
108	96	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
109	82	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> f : Prime --> NN0 )
110		ffn 5729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : Prime --> NN0 -> f Fn Prime )
111		elpreima 5999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn Prime -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
112	109, 110, 111	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
113	108, 112	bitr4d 256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> q e. ( `' f " NN ) ) )
114		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
115		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = q -> ( k <_ y <-> q <_ y ) )
116	115	rspccv 3211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
117	114, 116	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
118	113, 117	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN -> q <_ y ) )
119	107, 118	mtod 177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> -. ( f ` q ) e. NN )
120	109, 96	ffvelrnd 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) e. NN0 )
121		elnn0 10793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` q ) e. NN0 <-> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
122	120, 121	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
123	122	ord 377	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( -. ( f ` q ) e. NN -> ( f ` q ) = 0 ) )
124	119, 123	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) = 0 )
125	6, 81, 82, 92, 124	1arithlem4 14299	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
126	125	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( f e. R /\ y e. RR ) -> ( A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
127	126	rexlimdva 2955	. . . . 5 |- ( f e. R -> ( E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
128	80, 127	mpd 15	. . . 4 |- ( f e. R -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
129	128	rgen 2824	. . 3 |- A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x )
130		dffo3 6034	. . 3 |- ( M : NN -onto-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
131	44, 129, 130	mpbir2an 918	. 2 |- M : NN -onto-> R
132		df-f1o 5593	. 2 |- ( M : NN -1-1-onto-> R <-> ( M : NN -1-1-> R /\ M : NN -onto-> R ) )
133	63, 131, 132	mpbir2an 918	1 |- M : NN -1-1-onto-> R

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ^m cmap 7417   Fincfn 7513   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   < clt 9624   <_ cle 9625   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   |_cfl 11891   ^cexp 12130   || cdivides 13843   Primecprime 14072   pCnt cpc 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216

This theorem is referenced by:  1arith2  14301  sqff1o  23184