Theorem 1arith 14099

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
1arith.2	|- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
1arith	|- M : NN -1-1-onto-> R

Distinct variable groups:   e, n, p   e, M   R, n

Allowed substitution hints:   R( e, p)   M( n, p)

Proof of Theorem 1arith

Dummy variables f g k q x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 10759	. . . . . . 7 |- ZZ e. _V
2		prmz 13878	. . . . . . . 8 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
3	2	ssriv 3461	. . . . . . 7 |- Prime C_ ZZ
4	1, 3	ssexi 4538	. . . . . 6 |- Prime e. _V
5	4	mptex 6050	. . . . 5 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) e. _V
6		1arith.1	. . . . 5 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
7	5, 6	fnmpti 5640	. . . 4 |- M Fn NN
8	6	1arithlem3 14097	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
9		nn0ex 10689	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
10	9, 4	elmap 7344	. . . . . . 7 |- ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) <-> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
11	8, 10	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) )
12		fzfi 11904	. . . . . . 7 |- ( 1 ... x ) e. Fin
13		ffn 5660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 -> ( M ` x ) Fn Prime )
14		elpreima 5925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) Fn Prime -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
15	8, 13, 14	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
16	6	1arithlem2 14096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
17	16	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN <-> ( q pCnt x ) e. NN ) )
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. NN )
19		dvdsle 13689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ZZ /\ x e. NN ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
20	2, 18, 19	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
21		pcelnn 14047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. Prime /\ x e. NN ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
22	21	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
23		prmnn 13877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
24		nnuz 11000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	23, 24	syl6eleq 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		nnz 10772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
27		elfz5 11555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ x e. ZZ ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
28	25, 26, 27	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
29	20, 22, 28	3imtr4d 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
30	17, 29	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
31	30	expimpd 603	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
32	15, 31	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
33	32	ssrdv 3463	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) )
34		ssfi 7637	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... x ) e. Fin /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) ) -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
35	12, 33, 34	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
36		cnveq 5114	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( M ` x ) -> `' e = `' ( M ` x ) )
37	36	imaeq1d 5269	. . . . . . . 8 |- ( e = ( M ` x ) -> ( `' e " NN ) = ( `' ( M ` x ) " NN ) )
38	37	eleq1d 2520	. . . . . . 7 |- ( e = ( M ` x ) -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
39		1arith.2	. . . . . . 7 |- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }
40	38, 39	elrab2 3219	. . . . . 6 |- ( ( M ` x ) e. R <-> ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
41	11, 35, 40	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. R )
42	41	rgen 2892	. . . 4 |- A. x e. NN ( M ` x ) e. R
43		ffnfv 5971	. . . 4 |- ( M : NN --> R <-> ( M Fn NN /\ A. x e. NN ( M ` x ) e. R ) )
44	7, 42, 43	mpbir2an 911	. . 3 |- M : NN --> R
45	16	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
46	6	1arithlem2 14096	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
47	46	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
48	45, 47	eqeq12d 2473	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
49	48	ralbidva 2839	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
50	6	1arithlem3 14097	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( M ` y ) : Prime --> NN0 )
51		ffn 5660	. . . . . . . 8 |- ( ( M ` y ) : Prime --> NN0 -> ( M ` y ) Fn Prime )
52		eqfnfv 5899	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ` x ) Fn Prime /\ ( M ` y ) Fn Prime ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
53	13, 51, 52	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 /\ ( M ` y ) : Prime --> NN0 ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
54	8, 50, 53	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
55		nnnn0 10690	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
56		nnnn0 10690	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
57		pc11 14057	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
58	55, 56, 57	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
59	49, 54, 58	3bitr4d 285	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> x = y ) )
60	59	biimpd 207	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) )
61	60	rgen2a 2893	. . 3 |- A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y )
62		dff13 6073	. . 3 |- ( M : NN -1-1-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) ) )
63	44, 61, 62	mpbir2an 911	. 2 |- M : NN -1-1-> R
64		cnvimass 5290	. . . . . . 7 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
65		cnveq 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = f -> `' e = `' f )
66	65	imaeq1d 5269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = f -> ( `' e " NN ) = ( `' f " NN ) )
67	66	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = f -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' f " NN ) e. Fin ) )
68	67, 39	elrab2 3219	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. R <-> ( f e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) )
69	68	simplbi 460	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. R -> f e. ( NN0 ^m Prime ) )
70	9, 4	elmap 7344	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( NN0 ^m Prime ) <-> f : Prime --> NN0 )
71	69, 70	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( f e. R -> f : Prime --> NN0 )
72		fdm 5664	. . . . . . . . 9 |- ( f : Prime --> NN0 -> dom f = Prime )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> dom f = Prime )
74		zssre 10757	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
75	3, 74	sstri 3466	. . . . . . . 8 |- Prime C_ RR
76	73, 75	syl6eqss 3507	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> dom f C_ RR )
77	64, 76	syl5ss 3468	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) C_ RR )
78	68	simprbi 464	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) e. Fin )
79		fimaxre2 10382	. . . . . 6 |- ( ( ( `' f " NN ) C_ RR /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) -> E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
80	77, 78, 79	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( f e. R -> E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
81		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) ) = ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) )
82	71	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> f : Prime --> NN0 )
83		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> y e. RR )
84		0re 9490	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
85		ifcl 3932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
86	83, 84, 85	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
87		max1 11261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
88	84, 83, 87	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
89		flge0nn0 11776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) -> ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 )
90	86, 88, 89	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 )
91		nn0p1nn 10723	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
92	90, 91	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
93	83	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y e. RR )
94	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. NN )
95	94	nnred 10441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) e. RR )
96		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> q e. Prime )
97	75, 96	sseldi 3455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> q e. RR )
98	86	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
99		max2 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
100	84, 93, 99	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
101		flltp1 11760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
102	98, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
103	93, 98, 95, 100, 102	lelttrd 9633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y < ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) )
104		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q )
105	93, 95, 97, 103, 104	ltletrd 9635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> y < q )
106	93, 97	ltnled 9625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( y < q <-> -. q <_ y ) )
107	105, 106	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> -. q <_ y )
108	96	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
109	82	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> f : Prime --> NN0 )
110		ffn 5660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : Prime --> NN0 -> f Fn Prime )
111		elpreima 5925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn Prime -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
112	109, 110, 111	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
113	108, 112	bitr4d 256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> q e. ( `' f " NN ) ) )
114		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
115		breq1 4396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = q -> ( k <_ y <-> q <_ y ) )
116	115	rspccv 3169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
117	114, 116	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
118	113, 117	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN -> q <_ y ) )
119	107, 118	mtod 177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> -. ( f ` q ) e. NN )
120	109, 96	ffvelrnd 5946	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) e. NN0 )
121		elnn0 10685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` q ) e. NN0 <-> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
122	120, 121	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
123	122	ord 377	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( -. ( f ` q ) e. NN -> ( f ` q ) = 0 ) )
124	119, 123	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( ( |_ ` if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) = 0 )
125	6, 81, 82, 92, 124	1arithlem4 14098	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. R /\ y e. RR ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
126	125	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( f e. R /\ y e. RR ) -> ( A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
127	126	rexlimdva 2940	. . . . 5 |- ( f e. R -> ( E. y e. RR A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
128	80, 127	mpd 15	. . . 4 |- ( f e. R -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
129	128	rgen 2892	. . 3 |- A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x )
130		dffo3 5960	. . 3 |- ( M : NN -onto-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
131	44, 129, 130	mpbir2an 911	. 2 |- M : NN -onto-> R
132		df-f1o 5526	. 2 |- ( M : NN -1-1-onto-> R <-> ( M : NN -1-1-> R /\ M : NN -onto-> R ) )
133	63, 131, 132	mpbir2an 911	1 |- M : NN -1-1-onto-> R

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   C_ wss 3429   ifcif 3892   class class class wbr 4393   |-> cmpt 4451   `'ccnv 4940   dom cdm 4941   "cima 4944   Fn wfn 5514   -->wf 5515   -1-1->wf1 5516   -onto->wfo 5517   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   ^m cmap 7317   Fincfn 7413   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   < clt 9522   <_ cle 9523   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   ...cfz 11547   |_cfl 11750   ^cexp 11975   || cdivides 13646   Primecprime 13874   pCnt cpc 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-dvds 13647  df-gcd 13802  df-prm 13875  df-pc 14015

This theorem is referenced by:  1arith2  14100  sqff1o  22646