Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith Structured version   Unicode version

Theorem 1arith 14300
 Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations . (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1
1arith.2
Assertion
Ref Expression
1arith
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10869 . . . . . . 7
2 prmz 14076 . . . . . . . 8
32ssriv 3508 . . . . . . 7
41, 3ssexi 4592 . . . . . 6
54mptex 6129 . . . . 5
6 1arith.1 . . . . 5
75, 6fnmpti 5707 . . . 4
861arithlem3 14298 . . . . . . 7
9 nn0ex 10797 . . . . . . . 8
109, 4elmap 7444 . . . . . . 7
118, 10sylibr 212 . . . . . 6
12 fzfi 12046 . . . . . . 7
13 ffn 5729 . . . . . . . . . 10
14 elpreima 5999 . . . . . . . . . 10
158, 13, 143syl 20 . . . . . . . . 9
1661arithlem2 14297 . . . . . . . . . . . 12
1716eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
19 dvdsle 13886 . . . . . . . . . . . . 13
202, 18, 19syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12
21 pcelnn 14248 . . . . . . . . . . . . 13
2221ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12
23 prmnn 14075 . . . . . . . . . . . . . 14
24 nnuz 11113 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . 13
26 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . 13
27 elfz5 11676 . . . . . . . . . . . . 13
2825, 26, 27syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12
2920, 22, 283imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11
3017, 29sylbid 215 . . . . . . . . . 10
3130expimpd 603 . . . . . . . . 9
3215, 31sylbid 215 . . . . . . . 8
3332ssrdv 3510 . . . . . . 7
34 ssfi 7737 . . . . . . 7
3512, 33, 34sylancr 663 . . . . . 6
36 cnveq 5174 . . . . . . . . 9
3736imaeq1d 5334 . . . . . . . 8
3837eleq1d 2536 . . . . . . 7
39 1arith.2 . . . . . . 7
4038, 39elrab2 3263 . . . . . 6
4111, 35, 40sylanbrc 664 . . . . 5
4241rgen 2824 . . . 4
43 ffnfv 6045 . . . 4
447, 42, 43mpbir2an 918 . . 3
4516adantlr 714 . . . . . . . 8
4661arithlem2 14297 . . . . . . . . 9
4746adantll 713 . . . . . . . 8
4845, 47eqeq12d 2489 . . . . . . 7
4948ralbidva 2900 . . . . . 6
5061arithlem3 14298 . . . . . . 7
51 ffn 5729 . . . . . . . 8
52 eqfnfv 5973 . . . . . . . 8
5313, 51, 52syl2an 477 . . . . . . 7
548, 50, 53syl2an 477 . . . . . 6
55 nnnn0 10798 . . . . . . 7
56 nnnn0 10798 . . . . . . 7
57 pc11 14258 . . . . . . 7
5855, 56, 57syl2an 477 . . . . . 6
5949, 54, 583bitr4d 285 . . . . 5
6059biimpd 207 . . . 4
6160rgen2a 2891 . . 3
62 dff13 6152 . . 3
6344, 61, 62mpbir2an 918 . 2
64 cnvimass 5355 . . . . . . 7
65 cnveq 5174 . . . . . . . . . . . . . 14
6665imaeq1d 5334 . . . . . . . . . . . . 13
6766eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12
6867, 39elrab2 3263 . . . . . . . . . . 11
6968simplbi 460 . . . . . . . . . 10
709, 4elmap 7444 . . . . . . . . . 10
7169, 70sylib 196 . . . . . . . . 9
72 fdm 5733 . . . . . . . . 9
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8
74 zssre 10867 . . . . . . . . 9
753, 74sstri 3513 . . . . . . . 8
7673, 75syl6eqss 3554 . . . . . . 7
7764, 76syl5ss 3515 . . . . . 6
7868simprbi 464 . . . . . 6
79 fimaxre2 10487 . . . . . 6
8077, 78, 79syl2anc 661 . . . . 5
81 eqid 2467 . . . . . . . 8
8271ad2antrr 725 . . . . . . . 8
83 simplr 754 . . . . . . . . . . 11
84 0re 9592 . . . . . . . . . . 11
85 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11
8683, 84, 85sylancl 662 . . . . . . . . . 10
87 max1 11382 . . . . . . . . . . 11
8884, 83, 87sylancr 663 . . . . . . . . . 10
89 flge0nn0 11918 . . . . . . . . . 10
9086, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . 9
91 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . 9
9290, 91syl 16 . . . . . . . 8
9383adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
9492adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
9594nnred 10547 . . . . . . . . . . . 12
96 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13
9775, 96sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12
9886adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
99 max2 11384 . . . . . . . . . . . . . 14
10084, 93, 99sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
101 flltp1 11901 . . . . . . . . . . . . . 14
10298, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
10393, 98, 95, 100, 102lelttrd 9735 . . . . . . . . . . . 12
104 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12
10593, 95, 97, 103, 104ltletrd 9737 . . . . . . . . . . 11
10693, 97ltnled 9727 . . . . . . . . . . 11
107105, 106mpbid 210 . . . . . . . . . 10
10896biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12
10982adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
110 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . 13
111 elpreima 5999 . . . . . . . . . . . . 13
112109, 110, 1113syl 20 . . . . . . . . . . . 12
113108, 112bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11
114 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12
115 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13
116115rspccv 3211 . . . . . . . . . . . 12
117114, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11
118113, 117sylbid 215 . . . . . . . . . 10
119107, 118mtod 177 . . . . . . . . 9
120109, 96ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . 11
121 elnn0 10793 . . . . . . . . . . 11
122120, 121sylib 196 . . . . . . . . . 10
123122ord 377 . . . . . . . . 9
124119, 123mpd 15 . . . . . . . 8
1256, 81, 82, 92, 1241arithlem4 14299 . . . . . . 7
126125ex 434 . . . . . 6
127126rexlimdva 2955 . . . . 5
12880, 127mpd 15 . . . 4
129128rgen 2824 . . 3
130 dffo3 6034 . . 3
13144, 129, 130mpbir2an 918 . 2
132 df-f1o 5593 . 2
13363, 131, 132mpbir2an 918 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815  crab 2818   wss 3476  cif 3939   class class class wbr 4447   cmpt 4505  ccnv 4998   cdm 4999  cima 5002   wfn 5581  wf 5582  wf1 5583  wfo 5584  wf1o 5585  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmap 7417  cfn 7513  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   clt 9624   cle 9625  cn 10532  cn0 10791  cz 10860  cuz 11078  cfz 11668  cfl 11891  cexp 12130   cdivides 13843  cprime 14072   cpc 14215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216 This theorem is referenced by:  1arith2  14301  sqff1o  23184
 Copyright terms: Public domain W3C validator