MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  19prm Structured version   Unicode version

Theorem 19prm 14258
Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
19prm  |- ; 1 9  e.  Prime

Proof of Theorem 19prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10701 . . 3  |-  1  e.  NN0
2 9nn 10592 . . 3  |-  9  e.  NN
31, 2decnncl 10874 . 2  |- ; 1 9  e.  NN
4 1nn 10439 . . 3  |-  1  e.  NN
5 9nn0 10709 . . 3  |-  9  e.  NN0
6 1lt10 10638 . . 3  |-  1  <  10
74, 5, 1, 6declti 10886 . 2  |-  1  < ; 1
9
8 4nn0 10704 . . 3  |-  4  e.  NN0
9 4t2e8 10581 . . 3  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
10 df-9 10493 . . 3  |-  9  =  ( 8  +  1 )
111, 8, 9, 10dec2dvds 14205 . 2  |-  -.  2  || ; 1 9
12 3nn 10586 . . 3  |-  3  e.  NN
13 6nn0 10706 . . 3  |-  6  e.  NN0
14 8nn0 10708 . . . 4  |-  8  e.  NN0
15 8p1e9 10558 . . . 4  |-  ( 8  +  1 )  =  9
16 6cn 10509 . . . . 5  |-  6  e.  CC
17 3cn 10502 . . . . 5  |-  3  e.  CC
18 6t3e18 10939 . . . . 5  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
1916, 17, 18mulcomli 9499 . . . 4  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
201, 14, 15, 19decsuc 10884 . . 3  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
9
21 1lt3 10596 . . 3  |-  1  <  3
2212, 13, 4, 20, 21ndvdsi 13727 . 2  |-  -.  3  || ; 1 9
23 2nn0 10702 . . 3  |-  2  e.  NN0
24 5nn0 10705 . . 3  |-  5  e.  NN0
25 9lt10 10630 . . 3  |-  9  <  10
26 1lt2 10594 . . 3  |-  1  <  2
271, 23, 5, 24, 25, 26decltc 10883 . 2  |- ; 1 9  < ; 2 5
283, 7, 11, 22, 27prmlem1 14248 1  |- ; 1 9  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758  (class class class)co 6195   1c1 9389    x. cmul 9393   2c2 10477   3c3 10478   4c4 10479   5c5 10480   6c6 10481   8c8 10483   9c9 10484  ;cdc 10861   Primecprime 13876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-dvds 13649  df-prm 13877
This theorem is referenced by:  2503lem3  14276
  Copyright terms: Public domain W3C validator