MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  19prm Structured version   Unicode version

Theorem 19prm 14141
Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
19prm  |- ; 1 9  e.  Prime

Proof of Theorem 19prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10591 . . 3  |-  1  e.  NN0
2 9nn 10482 . . 3  |-  9  e.  NN
31, 2decnncl 10764 . 2  |- ; 1 9  e.  NN
4 1nn 10329 . . 3  |-  1  e.  NN
5 9nn0 10599 . . 3  |-  9  e.  NN0
6 1lt10 10528 . . 3  |-  1  <  10
74, 5, 1, 6declti 10776 . 2  |-  1  < ; 1
9
8 4nn0 10594 . . 3  |-  4  e.  NN0
9 4t2e8 10471 . . 3  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
10 df-9 10383 . . 3  |-  9  =  ( 8  +  1 )
111, 8, 9, 10dec2dvds 14088 . 2  |-  -.  2  || ; 1 9
12 3nn 10476 . . 3  |-  3  e.  NN
13 6nn0 10596 . . 3  |-  6  e.  NN0
14 8nn0 10598 . . . 4  |-  8  e.  NN0
15 8p1e9 10448 . . . 4  |-  ( 8  +  1 )  =  9
16 6cn 10399 . . . . 5  |-  6  e.  CC
17 3cn 10392 . . . . 5  |-  3  e.  CC
18 6t3e18 10829 . . . . 5  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
1916, 17, 18mulcomli 9389 . . . 4  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
201, 14, 15, 19decsuc 10774 . . 3  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
9
21 1lt3 10486 . . 3  |-  1  <  3
2212, 13, 4, 20, 21ndvdsi 13610 . 2  |-  -.  3  || ; 1 9
23 2nn0 10592 . . 3  |-  2  e.  NN0
24 5nn0 10595 . . 3  |-  5  e.  NN0
25 9lt10 10520 . . 3  |-  9  <  10
26 1lt2 10484 . . 3  |-  1  <  2
271, 23, 5, 24, 25, 26decltc 10773 . 2  |- ; 1 9  < ; 2 5
283, 7, 11, 22, 27prmlem1 14131 1  |- ; 1 9  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   1c1 9279    x. cmul 9283   2c2 10367   3c3 10368   4c4 10369   5c5 10370   6c6 10371   8c8 10373   9c9 10374  ;cdc 10751   Primecprime 13759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-dvds 13532  df-prm 13760
This theorem is referenced by:  2503lem3  14159
  Copyright terms: Public domain W3C validator