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Theorem 19.41rgVD 37299
Description: Virtual deduction proof of 19.41rg 36917. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. 19.41rg 36917 is 19.41rgVD 37299 without virtual deductions and was automatically derived from 19.41rgVD 37299. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
1::  |-  ( ps  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
2:1:  |-  ( ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( ps  ->  ( ph  ->  (  ph  /\  ps ) ) ) )
3:2:  |-  A. x ( ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( ps  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
4:3:  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( A. x ps  ->  A. x ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
5::  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ).
6:4,5:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( A. x ps  ->  A. x ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) ).
7::  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,. A. x ps  ->.  A. x ps ).
8:6,7:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,. A. x ps  ->.  A. x ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ).
9:8:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,. A. x ps  ->.  ( E. x ph  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ).
10:9:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( A. x ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ) ).
11:5:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ps  ->  A.  x ps ) ).
12:10,11:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ps  ->  (  E. x ph  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ) ).
13:12:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( E. x ph  ->  ( ps  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ) ).
14:13:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ( E. x  ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ).
qed:14:  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( ( E. x ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) )
Assertion
Ref Expression
19.41rgVD  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ( E. x ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) )

Proof of Theorem 19.41rgVD
StepHypRef Expression
1 idn1 36944 . . . . . . . . 9  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  A. x
( ps  ->  A. x ps ) ).
2 pm3.2 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
32com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( ps 
->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
54ax-gen 1669 . . . . . . . . . 10  |-  A. x
( ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ps  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
6 al2im 1686 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ( ps 
->  A. x ps )  ->  ( ps  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )  ->  ( A. x
( ps  ->  A. x ps )  ->  ( A. x ps  ->  A. x
( ph  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) ) )
75, 6e0a 37159 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( A. x ps 
->  A. x ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
81, 7e1a 37006 . . . . . . . 8  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( A. x ps  ->  A. x
( ph  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) ).
9 idn2 36992 . . . . . . . 8  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,.
A. x ps  ->.  A. x ps ).
10 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x ps  ->  A. x ( ph  ->  (
ph  /\  ps )
) )  ->  ( A. x ps  ->  A. x
( ph  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
118, 9, 10e12 37111 . . . . . . 7  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,.
A. x ps  ->.  A. x
( ph  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ).
12 exim 1706 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ph  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) )
1311, 12e2 37010 . . . . . 6  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,.
A. x ps  ->.  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) ).
1413in2 36984 . . . . 5  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( A. x ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) ) ).
15 sp 1937 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ps  ->  A. x ps ) )
161, 15e1a 37006 . . . . 5  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ps  ->  A. x ps ) ).
17 imim2 55 . . . . 5  |-  ( ( A. x ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) )  -> 
( ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) ) ) )
1814, 16, 17e11 37067 . . . 4  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) ).
19 pm2.04 85 . . . 4  |-  ( ( ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) )  ->  ( E. x ph  ->  ( ps  ->  E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
2018, 19e1a 37006 . . 3  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( E. x ph  ->  ( ps  ->  E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) ).
21 pm3.31 447 . . 3  |-  ( ( E. x ph  ->  ( ps  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) )  ->  (
( E. x ph  /\ 
ps )  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) )
2220, 21e1a 37006 . 2  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ( E. x ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ).
2322in1 36941 1  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ( E. x ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1442   E.wex 1663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-12 1933
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-ex 1664  df-vd1 36940  df-vd2 36948
This theorem is referenced by: (None)
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