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Theorem 19.41rgVD 33435
Description: Virtual deduction proof of 19.41rg 33056. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. 19.41rg 33056 is 19.41rgVD 33435 without virtual deductions and was automatically derived from 19.41rgVD 33435. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
1::  |-  ( ps  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
2:1:  |-  ( ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( ps  ->  ( ph  ->  (  ph  /\  ps ) ) ) )
3:2:  |-  A. x ( ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( ps  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
4:3:  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( A. x ps  ->  A. x ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
5::  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ).
6:4,5:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( A. x ps  ->  A. x ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) ).
7::  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,. A. x ps  ->.  A. x ps ).
8:6,7:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,. A. x ps  ->.  A. x ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ).
9:8:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,. A. x ps  ->.  ( E. x ph  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ).
10:9:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( A. x ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ) ).
11:5:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ps  ->  A.  x ps ) ).
12:10,11:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ps  ->  (  E. x ph  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ) ).
13:12:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( E. x ph  ->  ( ps  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ) ).
14:13:  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ( E. x  ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) ).
qed:14:  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( ( E. x ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) )
Assertion
Ref Expression
19.41rgVD  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ( E. x ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) )

Proof of Theorem 19.41rgVD
StepHypRef Expression
1 idn1 33084 . . . . . . . . 9  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  A. x
( ps  ->  A. x ps ) ).
2 pm3.2 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ps  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
32com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( ps 
->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
54ax-gen 1605 . . . . . . . . . 10  |-  A. x
( ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ps  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
6 al2im 1622 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ( ps 
->  A. x ps )  ->  ( ps  ->  ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )  ->  ( A. x
( ps  ->  A. x ps )  ->  ( A. x ps  ->  A. x
( ph  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) ) )
75, 6e0a 33302 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( A. x ps 
->  A. x ( ph  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
81, 7e1a 33146 . . . . . . . 8  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( A. x ps  ->  A. x
( ph  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) ).
9 idn2 33132 . . . . . . . 8  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,.
A. x ps  ->.  A. x ps ).
10 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x ps  ->  A. x ( ph  ->  (
ph  /\  ps )
) )  ->  ( A. x ps  ->  A. x
( ph  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
118, 9, 10e12 33254 . . . . . . 7  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,.
A. x ps  ->.  A. x
( ph  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ).
12 exim 1641 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ph  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) )
1311, 12e2 33150 . . . . . 6  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps ) ,.
A. x ps  ->.  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) ).
1413in2 33124 . . . . 5  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( A. x ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) ) ).
15 sp 1845 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ps  ->  A. x ps ) )
161, 15e1a 33146 . . . . 5  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ps  ->  A. x ps ) ).
17 imim2 53 . . . . 5  |-  ( ( A. x ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) )  -> 
( ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) ) ) )
1814, 16, 17e11 33207 . . . 4  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) ).
19 pm2.04 82 . . . 4  |-  ( ( ps  ->  ( E. x ph  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) )  ->  ( E. x ph  ->  ( ps  ->  E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
2018, 19e1a 33146 . . 3  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( E. x ph  ->  ( ps  ->  E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) ).
21 pm3.31 445 . . 3  |-  ( ( E. x ph  ->  ( ps  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) )  ->  (
( E. x ph  /\ 
ps )  ->  E. x
( ph  /\  ps )
) )
2220, 21e1a 33146 . 2  |-  (. A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->.  ( ( E. x ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ).
2322in1 33081 1  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ( E. x ph  /\  ps )  ->  E. x ( ph  /\  ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1381   E.wex 1599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-12 1840
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1600  df-vd1 33080  df-vd2 33088
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