MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  163prm Structured version   Unicode version

Theorem 163prm 15081
Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
163prm  |- ;; 1 6 3  e.  Prime

Proof of Theorem 163prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10885 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 6nn0 10890 . . . 4  |-  6  e.  NN0
31, 2deccl 11065 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN0
4 3nn 10768 . . 3  |-  3  e.  NN
53, 4decnncl 11064 . 2  |- ;; 1 6 3  e.  NN
6 8nn0 10892 . . . 4  |-  8  e.  NN0
7 4nn0 10888 . . . 4  |-  4  e.  NN0
86, 7deccl 11065 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
9 3nn0 10887 . . 3  |-  3  e.  NN0
10 3lt10 10818 . . 3  |-  3  <  10
11 6lt10 10815 . . . 4  |-  6  <  10
12 1lt8 10803 . . . 4  |-  1  <  8
131, 6, 2, 7, 11, 12decltc 11073 . . 3  |- ; 1 6  < ; 8 4
143, 8, 9, 1, 10, 13decltc 11073 . 2  |- ;; 1 6 3  < ;; 8 4 1
15 6nn 10771 . . . 4  |-  6  e.  NN
161, 15decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN
17 1lt10 10820 . . 3  |-  1  <  10
1816, 9, 1, 17declti 11076 . 2  |-  1  < ;; 1 6 3
19 2cn 10680 . . . 4  |-  2  e.  CC
2019mulid2i 9646 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
21 df-3 10669 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
223, 1, 20, 21dec2dvds 15020 . 2  |-  -.  2  || ;; 1 6 3
23 5nn0 10889 . . . 4  |-  5  e.  NN0
2423, 7deccl 11065 . . 3  |- ; 5 4  e.  NN0
25 1nn 10620 . . 3  |-  1  e.  NN
26 0nn0 10884 . . . 4  |-  0  e.  NN0
27 eqid 2422 . . . 4  |- ; 5 4  = ; 5 4
281dec0h 11067 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
29 ax-1cn 9597 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
3029addid2i 9821 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3130oveq2i 6312 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )
32 5p1e6 10737 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
33 5cn 10689 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
34 3cn 10684 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
35 5t3e15 11125 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
3633, 34, 35mulcomli 9650 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
371, 23, 32, 36decsuc 11074 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
3831, 37eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
6
39 2nn0 10886 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
40 2p1e3 10733 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
41 4cn 10687 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
42 4t3e12 11123 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
4341, 34, 42mulcomli 9650 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
441, 39, 40, 43decsuc 11074 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
4523, 7, 26, 1, 27, 28, 9, 9, 1, 38, 44decma2c 11091 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 5 4 )  +  1 )  = ;; 1 6 3
46 1lt3 10778 . . 3  |-  1  <  3
474, 24, 25, 45, 46ndvdsi 14376 . 2  |-  -.  3  || ;; 1 6 3
48 3lt5 10783 . . 3  |-  3  <  5
493, 4, 48dec5dvds 15021 . 2  |-  -.  5  || ;; 1 6 3
50 7nn 10772 . . 3  |-  7  e.  NN
5139, 9deccl 11065 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN0
52 2nn 10767 . . 3  |-  2  e.  NN
53 eqid 2422 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
5439dec0h 11067 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
55 7nn0 10891 . . . 4  |-  7  e.  NN0
5619addid2i 9821 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
5756oveq2i 6312 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 7  x.  2 )  +  2 )
58 7t2e14 11133 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
59 4p2e6 10744 . . . . . 6  |-  ( 4  +  2 )  =  6
601, 7, 39, 58, 59decaddi 11095 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  2 )  = ; 1
6
6157, 60eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
6
62 7t3e21 11134 . . . . 5  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
63 1p2e3 10734 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
6439, 1, 39, 62, 63decaddi 11095 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  3 )  +  2 )  = ; 2
3
6539, 9, 26, 39, 53, 54, 55, 9, 39, 61, 64decma2c 11091 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 2 3 )  +  2 )  = ;; 1 6 3
66 2lt7 10795 . . 3  |-  2  <  7
6750, 51, 52, 65, 66ndvdsi 14376 . 2  |-  -.  7  || ;; 1 6 3
681, 25decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
691, 7deccl 11065 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
70 9nn 10774 . . 3  |-  9  e.  NN
71 9nn0 10893 . . . 4  |-  9  e.  NN0
72 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
7371dec0h 11067 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
741, 1deccl 11065 . . . 4  |- ; 1 1  e.  NN0
7533addid2i 9821 . . . . . 6  |-  ( 0  +  5 )  =  5
7675oveq2i 6312 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  5 ) )  =  ( (; 1 1  x.  1 )  +  5 )
7768nncni 10619 . . . . . . 7  |- ; 1 1  e.  CC
7877mulid1i 9645 . . . . . 6  |-  (; 1 1  x.  1 )  = ; 1 1
7933, 29, 32addcomli 9825 . . . . . 6  |-  ( 1  +  5 )  =  6
801, 1, 23, 78, 79decaddi 11095 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  5 )  = ; 1
6
8176, 80eqtri 2451 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  5 ) )  = ; 1
6
82 eqid 2422 . . . . 5  |- ; 1 1  = ; 1 1
8341mulid2i 9646 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
8483, 30oveq12i 6313 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 4  +  1 )
85 4p1e5 10736 . . . . . 6  |-  ( 4  +  1 )  =  5
8684, 85eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  5
8783oveq1i 6311 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  9 )  =  ( 4  +  9 )
88 9cn 10697 . . . . . . 7  |-  9  e.  CC
89 9p4e13 11115 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
9088, 41, 89addcomli 9825 . . . . . 6  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
9187, 90eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  9 )  = ; 1
3
921, 1, 26, 71, 82, 73, 7, 9, 1, 86, 91decmac 11090 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  4 )  +  9 )  = ; 5
3
931, 7, 26, 71, 72, 73, 74, 9, 23, 81, 92decma2c 11091 . . 3  |-  ( (; 1
1  x. ; 1 4 )  +  9 )  = ;; 1 6 3
94 9lt10 10812 . . . 4  |-  9  <  10
9525, 1, 71, 94declti 11076 . . 3  |-  9  < ; 1
1
9668, 69, 70, 93, 95ndvdsi 14376 . 2  |-  -. ; 1 1  || ;; 1 6 3
971, 4decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
981, 39deccl 11065 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
99 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 2  = ; 1 2
10055dec0h 11067 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
1011, 9deccl 11065 . . . 4  |- ; 1 3  e.  NN0
102 eqid 2422 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
10334addid2i 9821 . . . . . 6  |-  ( 0  +  3 )  =  3
1049dec0h 11067 . . . . . 6  |-  3  = ; 0 3
105103, 104eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( 0  +  3 )  = ; 0
3
10629mulid1i 9645 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
107 00id 9808 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  0 )  =  0
108106, 107oveq12i 6313 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 1  +  0 )
10929addid1i 9820 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
110108, 109eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  1
11134mulid1i 9645 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
112111oveq1i 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  =  ( 3  +  3 )
113 3p3e6 10743 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  3 )  =  6
114112, 113eqtri 2451 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  =  6
1152dec0h 11067 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
116114, 115eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  = ; 0
6
1171, 9, 26, 9, 102, 105, 1, 2, 26, 110, 116decmac 11090 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  1 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ; 1
6
11820, 30oveq12i 6313 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
119118, 40eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
120 3t2e6 10761 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
121120oveq1i 6311 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  7 )  =  ( 6  +  7 )
122 7cn 10693 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
12315nncni 10619 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
124 7p6e13 11105 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
125122, 123, 124addcomli 9825 . . . . . 6  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
126121, 125eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  7 )  = ; 1
3
1271, 9, 26, 55, 102, 100, 39, 9, 1, 119, 126decmac 11090 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  +  7 )  = ; 3
3
1281, 39, 26, 55, 99, 100, 101, 9, 9, 117, 127decma2c 11091 . . 3  |-  ( (; 1
3  x. ; 1 2 )  +  7 )  = ;; 1 6 3
129 7lt10 10814 . . . 4  |-  7  <  10
13025, 9, 55, 129declti 11076 . . 3  |-  7  < ; 1
3
13197, 98, 50, 128, 130ndvdsi 14376 . 2  |-  -. ; 1 3  || ;; 1 6 3
1321, 50decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
133 10nn 10775 . . 3  |-  10  e.  NN
134 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
135 dec10 11081 . . . 4  |-  10  = ; 1 0
13688mulid2i 9646 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
137 6p1e7 10738 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
138123, 29, 137addcomli 9825 . . . . . 6  |-  ( 1  +  6 )  =  7
139136, 138oveq12i 6313 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  ( 1  +  6 ) )  =  ( 9  +  7 )
140 9p7e16 11118 . . . . 5  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
141139, 140eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 1
6
142 9t7e63 11151 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  7 )  = ; 6
3
14388, 122, 142mulcomli 9650 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  9 )  = ; 6
3
144143oveq1i 6311 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  0 )  =  (; 6 3  +  0 )
1452, 9deccl 11065 . . . . . . 7  |- ; 6 3  e.  NN0
146145nn0cni 10881 . . . . . 6  |- ; 6 3  e.  CC
147146addid1i 9820 . . . . 5  |-  (; 6 3  +  0 )  = ; 6 3
148144, 147eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  0 )  = ; 6
3
1491, 55, 1, 26, 134, 135, 71, 9, 2, 141, 148decmac 11090 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  9 )  +  10 )  = ;; 1 6 3
150 7pos 10709 . . . . 5  |-  0  <  7
1511, 26, 50, 150declt 11072 . . . 4  |- ; 1 0  < ; 1 7
152135, 151eqbrtri 4440 . . 3  |-  10  < ; 1 7
153132, 71, 133, 149, 152ndvdsi 14376 . 2  |-  -. ; 1 7  || ;; 1 6 3
1541, 70decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
155 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
156 8cn 10695 . . . . . . 7  |-  8  e.  CC
157156mulid2i 9646 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
158 7p1e8 10739 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  1 )  =  8
159122, 29, 158addcomli 9825 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  8
160157, 159oveq12i 6313 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 1  +  7 ) )  =  ( 8  +  8 )
161 8p8e16 11112 . . . . 5  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
162160, 161eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 1
6
163 9t8e72 11152 . . . . 5  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
16455, 39, 40, 163decsuc 11074 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  8 )  +  1 )  = ; 7
3
1651, 71, 1, 1, 155, 82, 6, 9, 55, 162, 164decmac 11090 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  8 )  + ; 1 1 )  = ;; 1 6 3
166 1lt9 10811 . . . 4  |-  1  <  9
1671, 1, 70, 166declt 11072 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 9
168154, 6, 68, 165, 167ndvdsi 14376 . 2  |-  -. ; 1 9  || ;; 1 6 3
16939, 4decnncl 11064 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
17056oveq2i 6312 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 2  x.  7 )  +  2 )
171122, 19, 58mulcomli 9650 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  7 )  = ; 1
4
1721, 7, 39, 171, 59decaddi 11095 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  2 )  = ; 1
6
173170, 172eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
6
174122, 34, 62mulcomli 9650 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
17539, 1, 39, 174, 63decaddi 11095 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
17639, 9, 26, 39, 53, 54, 55, 9, 39, 173, 175decmac 11090 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  7 )  +  2 )  = ;; 1 6 3
177 2lt10 10819 . . . 4  |-  2  <  10
17852, 9, 39, 177declti 11076 . . 3  |-  2  < ; 2
3
179169, 55, 52, 176, 178ndvdsi 14376 . 2  |-  -. ; 2 3  || ;; 1 6 3
1805, 14, 18, 22, 47, 49, 67, 96, 131, 153, 168, 179prmlem2 15076 1  |- ;; 1 6 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1868  (class class class)co 6301   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   5c5 10662   6c6 10663   7c7 10664   8c8 10665   9c9 10666   10c10 10667  ;cdc 11051   Primecprime 14607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-dvds 14291  df-prm 14608
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator