MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  163prm Structured version   Unicode version

Theorem 163prm 14273
Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
163prm  |- ;; 1 6 3  e.  Prime

Proof of Theorem 163prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10709 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 6nn0 10714 . . . 4  |-  6  e.  NN0
31, 2deccl 10883 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN0
4 3nn 10594 . . 3  |-  3  e.  NN
53, 4decnncl 10882 . 2  |- ;; 1 6 3  e.  NN
6 8nn0 10716 . . . 4  |-  8  e.  NN0
7 4nn0 10712 . . . 4  |-  4  e.  NN0
86, 7deccl 10883 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
9 3nn0 10711 . . 3  |-  3  e.  NN0
10 3lt10 10644 . . 3  |-  3  <  10
11 6lt10 10641 . . . 4  |-  6  <  10
12 1lt8 10629 . . . 4  |-  1  <  8
131, 6, 2, 7, 11, 12decltc 10891 . . 3  |- ; 1 6  < ; 8 4
143, 8, 9, 1, 10, 13decltc 10891 . 2  |- ;; 1 6 3  < ;; 8 4 1
15 6nn 10597 . . . 4  |-  6  e.  NN
161, 15decnncl 10882 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN
17 1lt10 10646 . . 3  |-  1  <  10
1816, 9, 1, 17declti 10894 . 2  |-  1  < ;; 1 6 3
19 2cn 10506 . . . 4  |-  2  e.  CC
2019mulid2i 9503 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
21 df-3 10495 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
223, 1, 20, 21dec2dvds 14213 . 2  |-  -.  2  || ;; 1 6 3
23 5nn0 10713 . . . 4  |-  5  e.  NN0
2423, 7deccl 10883 . . 3  |- ; 5 4  e.  NN0
25 1nn 10447 . . 3  |-  1  e.  NN
26 0nn0 10708 . . . 4  |-  0  e.  NN0
27 eqid 2454 . . . 4  |- ; 5 4  = ; 5 4
281dec0h 10885 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
29 ax-1cn 9454 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
3029addid2i 9671 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3130oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )
32 5p1e6 10563 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
33 5cn 10515 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
34 3cn 10510 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
35 5t3e15 10943 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
3633, 34, 35mulcomli 9507 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
371, 23, 32, 36decsuc 10892 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
3831, 37eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
6
39 2nn0 10710 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
40 2p1e3 10559 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
41 4cn 10513 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
42 4t3e12 10941 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
4341, 34, 42mulcomli 9507 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
441, 39, 40, 43decsuc 10892 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
4523, 7, 26, 1, 27, 28, 9, 9, 1, 38, 44decma2c 10909 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 5 4 )  +  1 )  = ;; 1 6 3
46 1lt3 10604 . . 3  |-  1  <  3
474, 24, 25, 45, 46ndvdsi 13735 . 2  |-  -.  3  || ;; 1 6 3
48 3lt5 10609 . . 3  |-  3  <  5
493, 4, 48dec5dvds 14214 . 2  |-  -.  5  || ;; 1 6 3
50 7nn 10598 . . 3  |-  7  e.  NN
5139, 9deccl 10883 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN0
52 2nn 10593 . . 3  |-  2  e.  NN
53 eqid 2454 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
5439dec0h 10885 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
55 7nn0 10715 . . . 4  |-  7  e.  NN0
5619addid2i 9671 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
5756oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 7  x.  2 )  +  2 )
58 7t2e14 10951 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
59 4p2e6 10570 . . . . . 6  |-  ( 4  +  2 )  =  6
601, 7, 39, 58, 59decaddi 10913 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  2 )  = ; 1
6
6157, 60eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
6
62 7t3e21 10952 . . . . 5  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
63 1p2e3 10560 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
6439, 1, 39, 62, 63decaddi 10913 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  3 )  +  2 )  = ; 2
3
6539, 9, 26, 39, 53, 54, 55, 9, 39, 61, 64decma2c 10909 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 2 3 )  +  2 )  = ;; 1 6 3
66 2lt7 10621 . . 3  |-  2  <  7
6750, 51, 52, 65, 66ndvdsi 13735 . 2  |-  -.  7  || ;; 1 6 3
681, 25decnncl 10882 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
691, 7deccl 10883 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
70 9nn 10600 . . 3  |-  9  e.  NN
71 9nn0 10717 . . . 4  |-  9  e.  NN0
72 eqid 2454 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
7371dec0h 10885 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
741, 1deccl 10883 . . . 4  |- ; 1 1  e.  NN0
7533addid2i 9671 . . . . . 6  |-  ( 0  +  5 )  =  5
7675oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  5 ) )  =  ( (; 1 1  x.  1 )  +  5 )
7768nncni 10446 . . . . . . 7  |- ; 1 1  e.  CC
7877mulid1i 9502 . . . . . 6  |-  (; 1 1  x.  1 )  = ; 1 1
7933, 29, 32addcomli 9675 . . . . . 6  |-  ( 1  +  5 )  =  6
801, 1, 23, 78, 79decaddi 10913 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  5 )  = ; 1
6
8176, 80eqtri 2483 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  5 ) )  = ; 1
6
82 eqid 2454 . . . . 5  |- ; 1 1  = ; 1 1
8341mulid2i 9503 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
8483, 30oveq12i 6215 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 4  +  1 )
85 4p1e5 10562 . . . . . 6  |-  ( 4  +  1 )  =  5
8684, 85eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  5
8783oveq1i 6213 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  9 )  =  ( 4  +  9 )
88 9cn 10523 . . . . . . 7  |-  9  e.  CC
89 9p4e13 10933 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
9088, 41, 89addcomli 9675 . . . . . 6  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
9187, 90eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  9 )  = ; 1
3
921, 1, 26, 71, 82, 73, 7, 9, 1, 86, 91decmac 10908 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  4 )  +  9 )  = ; 5
3
931, 7, 26, 71, 72, 73, 74, 9, 23, 81, 92decma2c 10909 . . 3  |-  ( (; 1
1  x. ; 1 4 )  +  9 )  = ;; 1 6 3
94 9lt10 10638 . . . 4  |-  9  <  10
9525, 1, 71, 94declti 10894 . . 3  |-  9  < ; 1
1
9668, 69, 70, 93, 95ndvdsi 13735 . 2  |-  -. ; 1 1  || ;; 1 6 3
971, 4decnncl 10882 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
981, 39deccl 10883 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
99 eqid 2454 . . . 4  |- ; 1 2  = ; 1 2
10055dec0h 10885 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
1011, 9deccl 10883 . . . 4  |- ; 1 3  e.  NN0
102 eqid 2454 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
10334addid2i 9671 . . . . . 6  |-  ( 0  +  3 )  =  3
1049dec0h 10885 . . . . . 6  |-  3  = ; 0 3
105103, 104eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( 0  +  3 )  = ; 0
3
10629mulid1i 9502 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
107 00id 9658 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  0 )  =  0
108106, 107oveq12i 6215 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 1  +  0 )
10929addid1i 9670 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
110108, 109eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  1
11134mulid1i 9502 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
112111oveq1i 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  =  ( 3  +  3 )
113 3p3e6 10569 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  3 )  =  6
114112, 113eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  =  6
1152dec0h 10885 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
116114, 115eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  = ; 0
6
1171, 9, 26, 9, 102, 105, 1, 2, 26, 110, 116decmac 10908 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  1 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ; 1
6
11820, 30oveq12i 6215 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
119118, 40eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
120 3t2e6 10587 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
121120oveq1i 6213 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  7 )  =  ( 6  +  7 )
122 7cn 10519 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
12315nncni 10446 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
124 7p6e13 10923 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
125122, 123, 124addcomli 9675 . . . . . 6  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
126121, 125eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  7 )  = ; 1
3
1271, 9, 26, 55, 102, 100, 39, 9, 1, 119, 126decmac 10908 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  +  7 )  = ; 3
3
1281, 39, 26, 55, 99, 100, 101, 9, 9, 117, 127decma2c 10909 . . 3  |-  ( (; 1
3  x. ; 1 2 )  +  7 )  = ;; 1 6 3
129 7lt10 10640 . . . 4  |-  7  <  10
13025, 9, 55, 129declti 10894 . . 3  |-  7  < ; 1
3
13197, 98, 50, 128, 130ndvdsi 13735 . 2  |-  -. ; 1 3  || ;; 1 6 3
1321, 50decnncl 10882 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
133 10nn 10601 . . 3  |-  10  e.  NN
134 eqid 2454 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
135 dec10 10899 . . . 4  |-  10  = ; 1 0
13688mulid2i 9503 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
137 6p1e7 10564 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
138123, 29, 137addcomli 9675 . . . . . 6  |-  ( 1  +  6 )  =  7
139136, 138oveq12i 6215 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  ( 1  +  6 ) )  =  ( 9  +  7 )
140 9p7e16 10936 . . . . 5  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
141139, 140eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 1
6
142 9t7e63 10969 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  7 )  = ; 6
3
14388, 122, 142mulcomli 9507 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  9 )  = ; 6
3
144143oveq1i 6213 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  0 )  =  (; 6 3  +  0 )
1452, 9deccl 10883 . . . . . . 7  |- ; 6 3  e.  NN0
146145nn0cni 10705 . . . . . 6  |- ; 6 3  e.  CC
147146addid1i 9670 . . . . 5  |-  (; 6 3  +  0 )  = ; 6 3
148144, 147eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  0 )  = ; 6
3
1491, 55, 1, 26, 134, 135, 71, 9, 2, 141, 148decmac 10908 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  9 )  +  10 )  = ;; 1 6 3
150 7pos 10535 . . . . 5  |-  0  <  7
1511, 26, 50, 150declt 10890 . . . 4  |- ; 1 0  < ; 1 7
152135, 151eqbrtri 4422 . . 3  |-  10  < ; 1 7
153132, 71, 133, 149, 152ndvdsi 13735 . 2  |-  -. ; 1 7  || ;; 1 6 3
1541, 70decnncl 10882 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
155 eqid 2454 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
156 8cn 10521 . . . . . . 7  |-  8  e.  CC
157156mulid2i 9503 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
158 7p1e8 10565 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  1 )  =  8
159122, 29, 158addcomli 9675 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  8
160157, 159oveq12i 6215 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 1  +  7 ) )  =  ( 8  +  8 )
161 8p8e16 10930 . . . . 5  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
162160, 161eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 1
6
163 9t8e72 10970 . . . . 5  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
16455, 39, 40, 163decsuc 10892 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  8 )  +  1 )  = ; 7
3
1651, 71, 1, 1, 155, 82, 6, 9, 55, 162, 164decmac 10908 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  8 )  + ; 1 1 )  = ;; 1 6 3
166 1lt9 10637 . . . 4  |-  1  <  9
1671, 1, 70, 166declt 10890 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 9
168154, 6, 68, 165, 167ndvdsi 13735 . 2  |-  -. ; 1 9  || ;; 1 6 3
16939, 4decnncl 10882 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
17056oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 2  x.  7 )  +  2 )
171122, 19, 58mulcomli 9507 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  7 )  = ; 1
4
1721, 7, 39, 171, 59decaddi 10913 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  2 )  = ; 1
6
173170, 172eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
6
174122, 34, 62mulcomli 9507 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
17539, 1, 39, 174, 63decaddi 10913 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
17639, 9, 26, 39, 53, 54, 55, 9, 39, 173, 175decmac 10908 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  7 )  +  2 )  = ;; 1 6 3
177 2lt10 10645 . . . 4  |-  2  <  10
17852, 9, 39, 177declti 10894 . . 3  |-  2  < ; 2
3
179169, 55, 52, 176, 178ndvdsi 13735 . 2  |-  -. ; 2 3  || ;; 1 6 3
1805, 14, 18, 22, 47, 49, 67, 96, 131, 153, 168, 179prmlem2 14268 1  |- ;; 1 6 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758  (class class class)co 6203   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    x. cmul 9401    < clt 9532   2c2 10485   3c3 10486   4c4 10487   5c5 10488   6c6 10489   7c7 10490   8c8 10491   9c9 10492   10c10 10493  ;cdc 10869   Primecprime 13884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-dvds 13657  df-prm 13885
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator