MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  13prm Structured version   Unicode version

Theorem 13prm 14264
Description: 13 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
13prm  |- ; 1 3  e.  Prime

Proof of Theorem 13prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10709 . . 3  |-  1  e.  NN0
2 3nn 10594 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10882 . 2  |- ; 1 3  e.  NN
4 1nn 10447 . . 3  |-  1  e.  NN
5 3nn0 10711 . . 3  |-  3  e.  NN0
6 1lt10 10646 . . 3  |-  1  <  10
74, 5, 1, 6declti 10894 . 2  |-  1  < ; 1
3
8 2cn 10506 . . . 4  |-  2  e.  CC
98mulid2i 9503 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
10 df-3 10495 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
111, 1, 9, 10dec2dvds 14213 . 2  |-  -.  2  || ; 1 3
12 4nn0 10712 . . 3  |-  4  e.  NN0
13 2nn0 10710 . . . 4  |-  2  e.  NN0
14 2p1e3 10559 . . . 4  |-  ( 2  +  1 )  =  3
15 4cn 10513 . . . . 5  |-  4  e.  CC
16 3cn 10510 . . . . 5  |-  3  e.  CC
17 4t3e12 10941 . . . . 5  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
1815, 16, 17mulcomli 9507 . . . 4  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
191, 13, 14, 18decsuc 10892 . . 3  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
20 1lt3 10604 . . 3  |-  1  <  3
212, 12, 4, 19, 20ndvdsi 13735 . 2  |-  -.  3  || ; 1 3
22 5nn0 10713 . . 3  |-  5  e.  NN0
23 3lt10 10644 . . 3  |-  3  <  10
24 1lt2 10602 . . 3  |-  1  <  2
251, 13, 5, 22, 23, 24decltc 10891 . 2  |- ; 1 3  < ; 2 5
263, 7, 11, 21, 25prmlem1 14256 1  |- ; 1 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758  (class class class)co 6203   1c1 9397    x. cmul 9401   2c2 10485   3c3 10486   4c4 10487   5c5 10488  ;cdc 10869   Primecprime 13884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-dvds 13657  df-prm 13885
This theorem is referenced by:  1259lem5  14280  bpos1  22758
  Copyright terms: Public domain W3C validator