MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  139prm Structured version   Unicode version

Theorem 139prm 15083
Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
139prm  |- ;; 1 3 9  e.  Prime

Proof of Theorem 139prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10886 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 3nn0 10888 . . . 4  |-  3  e.  NN0
31, 2deccl 11066 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN0
4 9nn 10775 . . 3  |-  9  e.  NN
53, 4decnncl 11065 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  NN
6 8nn0 10893 . . . 4  |-  8  e.  NN0
7 4nn0 10889 . . . 4  |-  4  e.  NN0
86, 7deccl 11066 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
9 9nn0 10894 . . 3  |-  9  e.  NN0
10 9lt10 10813 . . 3  |-  9  <  10
11 3lt10 10819 . . . 4  |-  3  <  10
12 1lt8 10804 . . . 4  |-  1  <  8
131, 6, 2, 7, 11, 12decltc 11074 . . 3  |- ; 1 3  < ; 8 4
143, 8, 9, 1, 10, 13decltc 11074 . 2  |- ;; 1 3 9  < ;; 8 4 1
15 3nn 10769 . . . 4  |-  3  e.  NN
161, 15decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
17 1lt10 10821 . . 3  |-  1  <  10
1816, 9, 1, 17declti 11077 . 2  |-  1  < ;; 1 3 9
19 4t2e8 10764 . . 3  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
20 df-9 10676 . . 3  |-  9  =  ( 8  +  1 )
213, 7, 19, 20dec2dvds 15023 . 2  |-  -.  2  || ;; 1 3 9
22 6nn0 10891 . . . 4  |-  6  e.  NN0
237, 22deccl 11066 . . 3  |- ; 4 6  e.  NN0
24 1nn 10621 . . 3  |-  1  e.  NN
25 0nn0 10885 . . . 4  |-  0  e.  NN0
26 eqid 2422 . . . 4  |- ; 4 6  = ; 4 6
271dec0h 11068 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
28 ax-1cn 9598 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2928addid2i 9822 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3029oveq2i 6313 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )
31 2nn0 10887 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
32 2p1e3 10734 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
337nn0cni 10882 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
34 3cn 10685 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
35 4t3e12 11124 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3633, 34, 35mulcomli 9651 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
371, 31, 32, 36decsuc 11075 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
3830, 37eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
3
39 8p1e9 10741 . . . . 5  |-  ( 8  +  1 )  =  9
4022nn0cni 10882 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
41 6t3e18 11130 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
4240, 34, 41mulcomli 9651 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
431, 6, 39, 42decsuc 11075 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
9
447, 22, 25, 1, 26, 27, 2, 9, 1, 38, 43decma2c 11092 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 4 6 )  +  1 )  = ;; 1 3 9
45 1lt3 10779 . . 3  |-  1  <  3
4615, 23, 24, 44, 45ndvdsi 14379 . 2  |-  -.  3  || ;; 1 3 9
47 4nn 10770 . . 3  |-  4  e.  NN
48 4lt5 10783 . . 3  |-  4  <  5
49 5p4e9 10750 . . 3  |-  ( 5  +  4 )  =  9
503, 47, 48, 49dec5dvds2 15025 . 2  |-  -.  5  || ;; 1 3 9
51 7nn 10773 . . 3  |-  7  e.  NN
521, 9deccl 11066 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN0
53 6nn 10772 . . 3  |-  6  e.  NN
54 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
5522dec0h 11068 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
56 7nn0 10892 . . . 4  |-  7  e.  NN0
57 7cn 10694 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
5857mulid1i 9646 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
5940addid2i 9822 . . . . . 6  |-  ( 0  +  6 )  =  6
6058, 59oveq12i 6314 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  6 ) )  =  ( 7  +  6 )
61 7p6e13 11106 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
6260, 61eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  6 ) )  = ; 1
3
63 9cn 10698 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
64 9t7e63 11152 . . . . . 6  |-  ( 9  x.  7 )  = ; 6
3
6563, 57, 64mulcomli 9651 . . . . 5  |-  ( 7  x.  9 )  = ; 6
3
66 6p3e9 10753 . . . . . 6  |-  ( 6  +  3 )  =  9
6740, 34, 66addcomli 9826 . . . . 5  |-  ( 3  +  6 )  =  9
6822, 2, 22, 65, 67decaddi 11096 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  6 )  = ; 6
9
691, 9, 25, 22, 54, 55, 56, 9, 22, 62, 68decma2c 11092 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 9 )  +  6 )  = ;; 1 3 9
70 6lt7 10792 . . 3  |-  6  <  7
7151, 52, 53, 69, 70ndvdsi 14379 . 2  |-  -.  7  || ;; 1 3 9
721, 24decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
731, 31deccl 11066 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
74 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 2  = ; 1 2
7556dec0h 11068 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
761, 1deccl 11066 . . . 4  |- ; 1 1  e.  NN0
77 2cn 10681 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
7877addid2i 9822 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
7978oveq2i 6313 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( (; 1 1  x.  1 )  +  2 )
8072nncni 10620 . . . . . . 7  |- ; 1 1  e.  CC
8180mulid1i 9646 . . . . . 6  |-  (; 1 1  x.  1 )  = ; 1 1
8277, 28, 32addcomli 9826 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
831, 1, 31, 81, 82decaddi 11096 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  2 )  = ; 1
3
8479, 83eqtri 2451 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
3
85 eqid 2422 . . . . 5  |- ; 1 1  = ; 1 1
8677mulid2i 9647 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
87 00id 9809 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  0 )  =  0
8886, 87oveq12i 6314 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 2  +  0 )
8977addid1i 9821 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
9088, 89eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  2
9186oveq1i 6312 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  7 )  =  ( 2  +  7 )
92 7p2e9 10755 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  2 )  =  9
9357, 77, 92addcomli 9826 . . . . . 6  |-  ( 2  +  7 )  =  9
949dec0h 11068 . . . . . 6  |-  9  = ; 0 9
9591, 93, 943eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  7 )  = ; 0
9
961, 1, 25, 56, 85, 75, 31, 9, 25, 90, 95decmac 11091 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  2 )  +  7 )  = ; 2
9
971, 31, 25, 56, 74, 75, 76, 9, 31, 84, 96decma2c 11092 . . 3  |-  ( (; 1
1  x. ; 1 2 )  +  7 )  = ;; 1 3 9
98 7lt10 10815 . . . 4  |-  7  <  10
9924, 1, 56, 98declti 11077 . . 3  |-  7  < ; 1
1
10072, 73, 51, 97, 99ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 1 1  || ;; 1 3 9
101 10nn0 10895 . . 3  |-  10  e.  NN0
102 dec10 11082 . . . 4  |-  10  = ; 1 0
103 eqid 2422 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
10425dec0h 11068 . . . . . 6  |-  0  = ; 0 0
10587, 104eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  = ; 0
0
10628mulid1i 9646 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
107106, 87oveq12i 6314 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 1  +  0 )
10828addid1i 9821 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
109107, 108eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  1
11034mulid1i 9646 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
111110oveq1i 6312 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
11234addid1i 9821 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
1132dec0h 11068 . . . . . 6  |-  3  = ; 0 3
114111, 112, 1133eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  = ; 0
3
1151, 2, 25, 25, 103, 105, 1, 2, 25, 109, 114decmac 11091 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  = ; 1
3
1163nn0cni 10882 . . . . . . 7  |- ; 1 3  e.  CC
117116mul01i 9824 . . . . . 6  |-  (; 1 3  x.  0 )  =  0
118117oveq1i 6312 . . . . 5  |-  ( (; 1
3  x.  0 )  +  9 )  =  ( 0  +  9 )
11963addid2i 9822 . . . . 5  |-  ( 0  +  9 )  =  9
120118, 119, 943eqtri 2455 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  0 )  +  9 )  = ; 0
9
1211, 25, 25, 9, 102, 94, 3, 9, 25, 115, 120decma2c 11092 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  10 )  +  9 )  = ;; 1 3 9
12224, 2, 9, 10declti 11077 . . 3  |-  9  < ; 1
3
12316, 101, 4, 121, 122ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 1 3  || ;; 1 3 9
1241, 51decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
125 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
126 5nn0 10890 . . . 4  |-  5  e.  NN0
127 8cn 10696 . . . . . . 7  |-  8  e.  CC
128127mulid2i 9647 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
129 5cn 10690 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
130129addid2i 9822 . . . . . 6  |-  ( 0  +  5 )  =  5
131128, 130oveq12i 6314 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 0  +  5 ) )  =  ( 8  +  5 )
132 8p5e13 11110 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
133131, 132eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 0  +  5 ) )  = ; 1
3
134 8t7e56 11145 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  7 )  = ; 5
6
135127, 57, 134mulcomli 9651 . . . . 5  |-  ( 7  x.  8 )  = ; 5
6
136126, 22, 2, 135, 66decaddi 11096 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  8 )  +  3 )  = ; 5
9
1371, 56, 25, 2, 125, 113, 6, 9, 126, 133, 136decmac 11091 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  8 )  +  3 )  = ;; 1 3 9
13824, 56, 2, 11declti 11077 . . 3  |-  3  < ; 1
7
139124, 6, 15, 137, 138ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 1 7  || ;; 1 3 9
1401, 4decnncl 11065 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
14157mulid2i 9647 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  7 )  =  7
142141, 59oveq12i 6314 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  7 )  +  ( 0  +  6 ) )  =  ( 7  +  6 )
143142, 61eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  7 )  +  ( 0  +  6 ) )  = ; 1
3
14422, 2, 22, 64, 67decaddi 11096 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  7 )  +  6 )  = ; 6
9
1451, 9, 25, 22, 54, 55, 56, 9, 22, 143, 144decmac 11091 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  7 )  +  6 )  = ;; 1 3 9
146 6lt10 10816 . . . 4  |-  6  <  10
14724, 9, 22, 146declti 11077 . . 3  |-  6  < ; 1
9
148140, 56, 53, 145, 147ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 1 9  || ;; 1 3 9
14931, 15decnncl 11065 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
150 eqid 2422 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
15129oveq2i 6313 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  1 )
152 6t2e12 11129 . . . . . . 7  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
15340, 77, 152mulcomli 9651 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  6 )  = ; 1
2
1541, 31, 32, 153decsuc 11075 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
3
155151, 154eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
3
15631, 2, 25, 1, 150, 27, 22, 9, 1, 155, 43decmac 11091 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  6 )  +  1 )  = ;; 1 3 9
157 2nn 10768 . . . 4  |-  2  e.  NN
158157, 2, 1, 17declti 11077 . . 3  |-  1  < ; 2
3
159149, 22, 24, 156, 158ndvdsi 14379 . 2  |-  -. ; 2 3  || ;; 1 3 9
1605, 14, 18, 21, 46, 50, 71, 100, 123, 139, 148, 159prmlem2 15079 1  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1868  (class class class)co 6302   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545   2c2 10660   3c3 10661   4c4 10662   5c5 10663   6c6 10664   7c7 10665   8c8 10666   9c9 10667   10c10 10668  ;cdc 11052   Primecprime 14610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-dvds 14294  df-prm 14611
This theorem is referenced by:  2503prm  15099
  Copyright terms: Public domain W3C validator