MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  139prm Structured version   Unicode version

Theorem 139prm 14134
Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
139prm  |- ;; 1 3 9  e.  Prime

Proof of Theorem 139prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10583 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 3nn0 10585 . . . 4  |-  3  e.  NN0
31, 2deccl 10757 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN0
4 9nn 10474 . . 3  |-  9  e.  NN
53, 4decnncl 10756 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  NN
6 8nn0 10590 . . . 4  |-  8  e.  NN0
7 4nn0 10586 . . . 4  |-  4  e.  NN0
86, 7deccl 10757 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
9 9nn0 10591 . . 3  |-  9  e.  NN0
10 9lt10 10512 . . 3  |-  9  <  10
11 3lt10 10518 . . . 4  |-  3  <  10
12 1lt8 10503 . . . 4  |-  1  <  8
131, 6, 2, 7, 11, 12decltc 10765 . . 3  |- ; 1 3  < ; 8 4
143, 8, 9, 1, 10, 13decltc 10765 . 2  |- ;; 1 3 9  < ;; 8 4 1
15 3nn 10468 . . . 4  |-  3  e.  NN
161, 15decnncl 10756 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
17 1lt10 10520 . . 3  |-  1  <  10
1816, 9, 1, 17declti 10768 . 2  |-  1  < ;; 1 3 9
19 4t2e8 10463 . . 3  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
20 df-9 10375 . . 3  |-  9  =  ( 8  +  1 )
213, 7, 19, 20dec2dvds 14075 . 2  |-  -.  2  || ;; 1 3 9
22 6nn0 10588 . . . 4  |-  6  e.  NN0
237, 22deccl 10757 . . 3  |- ; 4 6  e.  NN0
24 1nn 10321 . . 3  |-  1  e.  NN
25 0nn0 10582 . . . 4  |-  0  e.  NN0
26 eqid 2433 . . . 4  |- ; 4 6  = ; 4 6
271dec0h 10759 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
28 ax-1cn 9328 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2928addid2i 9545 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3029oveq2i 6091 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )
31 2nn0 10584 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
32 2p1e3 10433 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
337nn0cni 10579 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
34 3cn 10384 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
35 4t3e12 10815 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3633, 34, 35mulcomli 9381 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
371, 31, 32, 36decsuc 10766 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
3830, 37eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
3
39 8p1e9 10440 . . . . 5  |-  ( 8  +  1 )  =  9
4022nn0cni 10579 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
41 6t3e18 10821 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
4240, 34, 41mulcomli 9381 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
431, 6, 39, 42decsuc 10766 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
9
447, 22, 25, 1, 26, 27, 2, 9, 1, 38, 43decma2c 10783 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 4 6 )  +  1 )  = ;; 1 3 9
45 1lt3 10478 . . 3  |-  1  <  3
4615, 23, 24, 44, 45ndvdsi 13597 . 2  |-  -.  3  || ;; 1 3 9
47 4nn 10469 . . 3  |-  4  e.  NN
48 4lt5 10482 . . 3  |-  4  <  5
49 5p4e9 10449 . . 3  |-  ( 5  +  4 )  =  9
503, 47, 48, 49dec5dvds2 14077 . 2  |-  -.  5  || ;; 1 3 9
51 7nn 10472 . . 3  |-  7  e.  NN
521, 9deccl 10757 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN0
53 6nn 10471 . . 3  |-  6  e.  NN
54 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
5522dec0h 10759 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
56 7nn0 10589 . . . 4  |-  7  e.  NN0
57 7cn 10393 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
5857mulid1i 9376 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
5940addid2i 9545 . . . . . 6  |-  ( 0  +  6 )  =  6
6058, 59oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  6 ) )  =  ( 7  +  6 )
61 7p6e13 10797 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
6260, 61eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  6 ) )  = ; 1
3
63 9cn 10397 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
64 9t7e63 10843 . . . . . 6  |-  ( 9  x.  7 )  = ; 6
3
6563, 57, 64mulcomli 9381 . . . . 5  |-  ( 7  x.  9 )  = ; 6
3
66 6p3e9 10452 . . . . . 6  |-  ( 6  +  3 )  =  9
6740, 34, 66addcomli 9549 . . . . 5  |-  ( 3  +  6 )  =  9
6822, 2, 22, 65, 67decaddi 10787 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  6 )  = ; 6
9
691, 9, 25, 22, 54, 55, 56, 9, 22, 62, 68decma2c 10783 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 9 )  +  6 )  = ;; 1 3 9
70 6lt7 10491 . . 3  |-  6  <  7
7151, 52, 53, 69, 70ndvdsi 13597 . 2  |-  -.  7  || ;; 1 3 9
721, 24decnncl 10756 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
731, 31deccl 10757 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
74 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 2  = ; 1 2
7556dec0h 10759 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
761, 1deccl 10757 . . . 4  |- ; 1 1  e.  NN0
77 2cn 10380 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
7877addid2i 9545 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
7978oveq2i 6091 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( (; 1 1  x.  1 )  +  2 )
8072nncni 10320 . . . . . . 7  |- ; 1 1  e.  CC
8180mulid1i 9376 . . . . . 6  |-  (; 1 1  x.  1 )  = ; 1 1
8277, 28, 32addcomli 9549 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
831, 1, 31, 81, 82decaddi 10787 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  2 )  = ; 1
3
8479, 83eqtri 2453 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
3
85 eqid 2433 . . . . 5  |- ; 1 1  = ; 1 1
8677mulid2i 9377 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
87 00id 9532 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  0 )  =  0
8886, 87oveq12i 6092 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 2  +  0 )
8977addid1i 9544 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
9088, 89eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  2
9186oveq1i 6090 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  7 )  =  ( 2  +  7 )
92 7p2e9 10454 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  2 )  =  9
9357, 77, 92addcomli 9549 . . . . . 6  |-  ( 2  +  7 )  =  9
949dec0h 10759 . . . . . 6  |-  9  = ; 0 9
9591, 93, 943eqtri 2457 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  7 )  = ; 0
9
961, 1, 25, 56, 85, 75, 31, 9, 25, 90, 95decmac 10782 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  2 )  +  7 )  = ; 2
9
971, 31, 25, 56, 74, 75, 76, 9, 31, 84, 96decma2c 10783 . . 3  |-  ( (; 1
1  x. ; 1 2 )  +  7 )  = ;; 1 3 9
98 7lt10 10514 . . . 4  |-  7  <  10
9924, 1, 56, 98declti 10768 . . 3  |-  7  < ; 1
1
10072, 73, 51, 97, 99ndvdsi 13597 . 2  |-  -. ; 1 1  || ;; 1 3 9
101 10nn0 10592 . . 3  |-  10  e.  NN0
102 dec10 10773 . . . 4  |-  10  = ; 1 0
103 eqid 2433 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
10425dec0h 10759 . . . . . 6  |-  0  = ; 0 0
10587, 104eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  = ; 0
0
10628mulid1i 9376 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
107106, 87oveq12i 6092 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 1  +  0 )
10828addid1i 9544 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
109107, 108eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  1
11034mulid1i 9376 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
111110oveq1i 6090 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
11234addid1i 9544 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
1132dec0h 10759 . . . . . 6  |-  3  = ; 0 3
114111, 112, 1133eqtri 2457 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  = ; 0
3
1151, 2, 25, 25, 103, 105, 1, 2, 25, 109, 114decmac 10782 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  = ; 1
3
1163nn0cni 10579 . . . . . . 7  |- ; 1 3  e.  CC
117116mul01i 9547 . . . . . 6  |-  (; 1 3  x.  0 )  =  0
118117oveq1i 6090 . . . . 5  |-  ( (; 1
3  x.  0 )  +  9 )  =  ( 0  +  9 )
11963addid2i 9545 . . . . 5  |-  ( 0  +  9 )  =  9
120118, 119, 943eqtri 2457 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  0 )  +  9 )  = ; 0
9
1211, 25, 25, 9, 102, 94, 3, 9, 25, 115, 120decma2c 10783 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  10 )  +  9 )  = ;; 1 3 9
12224, 2, 9, 10declti 10768 . . 3  |-  9  < ; 1
3
12316, 101, 4, 121, 122ndvdsi 13597 . 2  |-  -. ; 1 3  || ;; 1 3 9
1241, 51decnncl 10756 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
125 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
126 5nn0 10587 . . . 4  |-  5  e.  NN0
127 8cn 10395 . . . . . . 7  |-  8  e.  CC
128127mulid2i 9377 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
129 5cn 10389 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
130129addid2i 9545 . . . . . 6  |-  ( 0  +  5 )  =  5
131128, 130oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 0  +  5 ) )  =  ( 8  +  5 )
132 8p5e13 10801 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
133131, 132eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 0  +  5 ) )  = ; 1
3
134 8t7e56 10836 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  7 )  = ; 5
6
135127, 57, 134mulcomli 9381 . . . . 5  |-  ( 7  x.  8 )  = ; 5
6
136126, 22, 2, 135, 66decaddi 10787 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  8 )  +  3 )  = ; 5
9
1371, 56, 25, 2, 125, 113, 6, 9, 126, 133, 136decmac 10782 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  8 )  +  3 )  = ;; 1 3 9
13824, 56, 2, 11declti 10768 . . 3  |-  3  < ; 1
7
139124, 6, 15, 137, 138ndvdsi 13597 . 2  |-  -. ; 1 7  || ;; 1 3 9
1401, 4decnncl 10756 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
14157mulid2i 9377 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  7 )  =  7
142141, 59oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  7 )  +  ( 0  +  6 ) )  =  ( 7  +  6 )
143142, 61eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  7 )  +  ( 0  +  6 ) )  = ; 1
3
14422, 2, 22, 64, 67decaddi 10787 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  7 )  +  6 )  = ; 6
9
1451, 9, 25, 22, 54, 55, 56, 9, 22, 143, 144decmac 10782 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  7 )  +  6 )  = ;; 1 3 9
146 6lt10 10515 . . . 4  |-  6  <  10
14724, 9, 22, 146declti 10768 . . 3  |-  6  < ; 1
9
148140, 56, 53, 145, 147ndvdsi 13597 . 2  |-  -. ; 1 9  || ;; 1 3 9
14931, 15decnncl 10756 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
150 eqid 2433 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
15129oveq2i 6091 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  1 )
152 6t2e12 10820 . . . . . . 7  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
15340, 77, 152mulcomli 9381 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  6 )  = ; 1
2
1541, 31, 32, 153decsuc 10766 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
3
155151, 154eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
3
15631, 2, 25, 1, 150, 27, 22, 9, 1, 155, 43decmac 10782 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  6 )  +  1 )  = ;; 1 3 9
157 2nn 10467 . . . 4  |-  2  e.  NN
158157, 2, 1, 17declti 10768 . . 3  |-  1  < ; 2
3
159149, 22, 24, 156, 158ndvdsi 13597 . 2  |-  -. ; 2 3  || ;; 1 3 9
1605, 14, 18, 21, 46, 50, 71, 100, 123, 139, 148, 159prmlem2 14130 1  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   5c5 10362   6c6 10363   7c7 10364   8c8 10365   9c9 10366   10c10 10367  ;cdc 10743   Primecprime 13746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-dvds 13519  df-prm 13747
This theorem is referenced by:  2503prm  14147
  Copyright terms: Public domain W3C validator