MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Unicode version

Theorem 1259prm 14152
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 14140 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 10589 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 10473 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10760 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 10587 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 10588 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10761 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10591 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10761 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10594 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2438 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 10444 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 10791 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 6096 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10761 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 10583 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 9332 . . . . 5  |-  1  e.  CC
20 pncan 9608 . . . . 5  |-  ( (;;; 1 2 5 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 1 2 5 8 )
2118, 19, 20mp2an 672 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2216, 21eqtri 2458 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
23 4nn0 10590 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
242, 23deccl 10761 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
25 7nn0 10593 . . . 4  |-  7  e.  NN0
26 eqid 2438 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
277, 2deccl 10761 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
28 eqid 2438 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
29 eqid 2438 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
30 3t3e9 10466 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
31 2p1e3 10437 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3230, 31oveq12i 6098 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
33 9p3e12 10810 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3432, 33eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
35 4t3e12 10819 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
36 3cn 10388 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
37 2cn 10384 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
38 3p2e5 10446 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3936, 37, 38addcomli 9553 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
406, 7, 2, 35, 39decaddi 10791 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
412, 23, 7, 2, 28, 29, 2, 9, 6, 34, 40decmac 10786 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
42 7cn 10397 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
43 7t3e21 10830 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4442, 36, 43mulcomli 9385 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
45 1p2e3 10438 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
467, 6, 7, 44, 45decaddi 10791 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
473nncni 10324 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
48 7t4e28 10831 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
4942, 47, 48mulcomli 9385 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
5025, 2, 23, 28, 11, 7, 46, 49decmul1c 10794 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5124, 2, 25, 26, 11, 27, 41, 50decmul2c 10795 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5222, 51eqtr4i 2461 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
53 9nn0 10595 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5410, 53deccl 10761 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
555, 54eqeltri 2508 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5655nn0cni 10583 . . . 4  |-  N  e.  CC
57 npcan 9611 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5856, 19, 57mp2an 672 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
5958eqcomi 2442 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
60 1nn 10325 . 2  |-  1  e.  NN
61 2nn 10471 . 2  |-  2  e.  NN
622, 25deccl 10761 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6362numexp1 14098 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6463oveq2i 6097 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6552, 64eqtr4i 2461 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
66 7nn 10476 . . . 4  |-  7  e.  NN
67 4lt7 10497 . . . 4  |-  4  <  7
682, 23, 66, 67declt 10768 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6968, 63breqtrri 4312 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
7051259lem4 14150 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7151259lem5 14151 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
721, 4, 52, 59, 4, 60, 61, 65, 69, 70, 71pockthi 13960 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   CCcc 9272   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    - cmin 9587   2c2 10363   3c3 10364   4c4 10365   5c5 10366   7c7 10368   8c8 10369   9c9 10370   NN0cn0 10571  ;cdc 10747   ^cexp 11857   Primecprime 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-odz 13832  df-phi 13833  df-pc 13896
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator