MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Unicode version

Theorem 1259prm 14472
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 14460 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 10809 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 10691 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10985 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 10807 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 10808 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10986 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10811 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10986 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10814 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2467 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 10662 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 11016 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 6292 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10986 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 10803 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 9546 . . . . 5  |-  1  e.  CC
20 pncan 9822 . . . . 5  |-  ( (;;; 1 2 5 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 1 2 5 8 )
2118, 19, 20mp2an 672 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2216, 21eqtri 2496 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
23 4nn0 10810 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
242, 23deccl 10986 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
25 7nn0 10813 . . . 4  |-  7  e.  NN0
26 eqid 2467 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
277, 2deccl 10986 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
28 eqid 2467 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
29 eqid 2467 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
30 3t3e9 10684 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
31 2p1e3 10655 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3230, 31oveq12i 6294 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
33 9p3e12 11035 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3432, 33eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
35 4t3e12 11044 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
36 3cn 10606 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
37 2cn 10602 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
38 3p2e5 10664 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3936, 37, 38addcomli 9767 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
406, 7, 2, 35, 39decaddi 11016 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
412, 23, 7, 2, 28, 29, 2, 9, 6, 34, 40decmac 11011 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
42 7cn 10615 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
43 7t3e21 11055 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4442, 36, 43mulcomli 9599 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
45 1p2e3 10656 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
467, 6, 7, 44, 45decaddi 11016 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
473nncni 10542 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
48 7t4e28 11056 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
4942, 47, 48mulcomli 9599 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
5025, 2, 23, 28, 11, 7, 46, 49decmul1c 11019 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5124, 2, 25, 26, 11, 27, 41, 50decmul2c 11020 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5222, 51eqtr4i 2499 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
53 9nn0 10815 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5410, 53deccl 10986 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
555, 54eqeltri 2551 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5655nn0cni 10803 . . . 4  |-  N  e.  CC
57 npcan 9825 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5856, 19, 57mp2an 672 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
5958eqcomi 2480 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
60 1nn 10543 . 2  |-  1  e.  NN
61 2nn 10689 . 2  |-  2  e.  NN
622, 25deccl 10986 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6362numexp1 14418 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6463oveq2i 6293 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6552, 64eqtr4i 2499 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
66 7nn 10694 . . . 4  |-  7  e.  NN
67 4lt7 10715 . . . 4  |-  4  <  7
682, 23, 66, 67declt 10993 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6968, 63breqtrri 4472 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
7051259lem4 14470 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7151259lem5 14471 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
721, 4, 52, 59, 4, 60, 61, 65, 69, 70, 71pockthi 14280 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   CCcc 9486   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    - cmin 9801   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   5c5 10584   7c7 10586   8c8 10587   9c9 10588   NN0cn0 10791  ;cdc 10972   ^cexp 12130   Primecprime 14072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-odz 14150  df-phi 14151  df-pc 14216
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator