MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Unicode version

Theorem 1259prm 15095
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 15080 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 10888 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 10770 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 11065 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 10886 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 10887 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 11066 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10890 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 11066 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10893 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2422 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 10741 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 11096 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2454 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 6312 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 11066 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 10882 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 9598 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2018, 19pncan3oi 9892 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2116, 20eqtri 2451 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
22 4nn0 10889 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
232, 22deccl 11066 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
24 7nn0 10892 . . . 4  |-  7  e.  NN0
25 eqid 2422 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
267, 2deccl 11066 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
27 eqid 2422 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
28 eqid 2422 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
29 3t3e9 10763 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
30 2p1e3 10734 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3129, 30oveq12i 6314 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
32 9p3e12 11115 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3331, 32eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
34 4t3e12 11124 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
35 3cn 10685 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
36 2cn 10681 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
37 3p2e5 10743 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3835, 36, 37addcomli 9826 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
396, 7, 2, 34, 38decaddi 11096 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
402, 22, 7, 2, 27, 28, 2, 9, 6, 33, 39decmac 11091 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
41 7cn 10694 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
42 7t3e21 11135 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4341, 35, 42mulcomli 9651 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
44 1p2e3 10735 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
457, 6, 7, 43, 44decaddi 11096 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
46 4cn 10688 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
47 7t4e28 11136 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
4841, 46, 47mulcomli 9651 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
4924, 2, 22, 27, 11, 7, 45, 48decmul1c 11099 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5023, 2, 24, 25, 11, 26, 40, 49decmul2c 11100 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5121, 50eqtr4i 2454 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
52 9nn0 10894 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5310, 52deccl 11066 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
545, 53eqeltri 2506 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5554nn0cni 10882 . . . 4  |-  N  e.  CC
56 npcan 9885 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5755, 19, 56mp2an 676 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
5857eqcomi 2435 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
59 1nn 10621 . 2  |-  1  e.  NN
60 2nn 10768 . 2  |-  2  e.  NN
612, 24deccl 11066 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6261numexp1 15037 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6362oveq2i 6313 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6451, 63eqtr4i 2454 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
65 7nn 10773 . . . 4  |-  7  e.  NN
66 4lt7 10794 . . . 4  |-  4  <  7
672, 22, 65, 66declt 11073 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6867, 62breqtrri 4446 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
6951259lem4 15093 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7051259lem5 15094 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
711, 4, 51, 58, 4, 59, 60, 64, 68, 69, 70pockthi 14839 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1868  (class class class)co 6302   CCcc 9538   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    < clt 9676    - cmin 9861   2c2 10660   3c3 10661   4c4 10662   5c5 10663   7c7 10665   8c8 10666   9c9 10667   NN0cn0 10870  ;cdc 11052   ^cexp 12272   Primecprime 14610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-dvds 14294  df-gcd 14457  df-prm 14611  df-odz 14700  df-phi 14702  df-pc 14775
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator