MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Unicode version

Theorem 1259prm 14495
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 14483 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 10819 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 10701 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10997 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 10817 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 10818 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10998 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10821 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10998 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10824 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2443 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 10672 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 11028 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2475 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 6291 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10998 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 10813 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 9553 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2018, 19pncan3oi 9841 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2116, 20eqtri 2472 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
22 4nn0 10820 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
232, 22deccl 10998 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
24 7nn0 10823 . . . 4  |-  7  e.  NN0
25 eqid 2443 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
267, 2deccl 10998 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
27 eqid 2443 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
28 eqid 2443 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
29 3t3e9 10694 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
30 2p1e3 10665 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3129, 30oveq12i 6293 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
32 9p3e12 11047 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3331, 32eqtri 2472 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
34 4t3e12 11056 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
35 3cn 10616 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
36 2cn 10612 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
37 3p2e5 10674 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3835, 36, 37addcomli 9775 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
396, 7, 2, 34, 38decaddi 11028 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
402, 22, 7, 2, 27, 28, 2, 9, 6, 33, 39decmac 11023 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
41 7cn 10625 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
42 7t3e21 11067 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4341, 35, 42mulcomli 9606 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
44 1p2e3 10666 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
457, 6, 7, 43, 44decaddi 11028 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
46 4cn 10619 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
47 7t4e28 11068 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
4841, 46, 47mulcomli 9606 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
4924, 2, 22, 27, 11, 7, 45, 48decmul1c 11031 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5023, 2, 24, 25, 11, 26, 40, 49decmul2c 11032 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5121, 50eqtr4i 2475 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
52 9nn0 10825 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5310, 52deccl 10998 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
545, 53eqeltri 2527 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5554nn0cni 10813 . . . 4  |-  N  e.  CC
56 npcan 9834 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5755, 19, 56mp2an 672 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
5857eqcomi 2456 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
59 1nn 10553 . 2  |-  1  e.  NN
60 2nn 10699 . 2  |-  2  e.  NN
612, 24deccl 10998 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6261numexp1 14440 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6362oveq2i 6292 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6451, 63eqtr4i 2475 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
65 7nn 10704 . . . 4  |-  7  e.  NN
66 4lt7 10725 . . . 4  |-  4  <  7
672, 22, 65, 66declt 11005 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6867, 62breqtrri 4462 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
6951259lem4 14493 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7051259lem5 14494 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
711, 4, 51, 58, 4, 59, 60, 64, 68, 69, 70pockthi 14302 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   CCcc 9493   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    - cmin 9810   2c2 10591   3c3 10592   4c4 10593   5c5 10594   7c7 10596   8c8 10597   9c9 10598   NN0cn0 10801  ;cdc 10984   ^cexp 12145   Primecprime 14094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-prm 14095  df-odz 14172  df-phi 14173  df-pc 14238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator