MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Unicode version

Theorem 1259prm 14142
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 14130 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 10584 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 10468 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10755 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 10582 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 10583 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10756 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10586 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10756 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10589 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2433 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 10439 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 10786 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2456 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 6090 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10756 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 10578 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 9327 . . . . 5  |-  1  e.  CC
20 pncan 9603 . . . . 5  |-  ( (;;; 1 2 5 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 1 2 5 8 )
2118, 19, 20mp2an 665 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2216, 21eqtri 2453 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
23 4nn0 10585 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
242, 23deccl 10756 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
25 7nn0 10588 . . . 4  |-  7  e.  NN0
26 eqid 2433 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
277, 2deccl 10756 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
28 eqid 2433 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
29 eqid 2433 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
30 3t3e9 10461 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
31 2p1e3 10432 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3230, 31oveq12i 6092 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
33 9p3e12 10805 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3432, 33eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
35 4t3e12 10814 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
36 3cn 10383 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
37 2cn 10379 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
38 3p2e5 10441 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3936, 37, 38addcomli 9548 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
406, 7, 2, 35, 39decaddi 10786 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
412, 23, 7, 2, 28, 29, 2, 9, 6, 34, 40decmac 10781 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
42 7cn 10392 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
43 7t3e21 10825 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4442, 36, 43mulcomli 9380 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
45 1p2e3 10433 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
467, 6, 7, 44, 45decaddi 10786 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
473nncni 10319 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
48 7t4e28 10826 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
4942, 47, 48mulcomli 9380 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
5025, 2, 23, 28, 11, 7, 46, 49decmul1c 10789 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5124, 2, 25, 26, 11, 27, 41, 50decmul2c 10790 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5222, 51eqtr4i 2456 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
53 9nn0 10590 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5410, 53deccl 10756 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
555, 54eqeltri 2503 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5655nn0cni 10578 . . . 4  |-  N  e.  CC
57 npcan 9606 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5856, 19, 57mp2an 665 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
5958eqcomi 2437 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
60 1nn 10320 . 2  |-  1  e.  NN
61 2nn 10466 . 2  |-  2  e.  NN
622, 25deccl 10756 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6362numexp1 14088 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6463oveq2i 6091 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6552, 64eqtr4i 2456 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
66 7nn 10471 . . . 4  |-  7  e.  NN
67 4lt7 10492 . . . 4  |-  4  <  7
682, 23, 66, 67declt 10763 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6968, 63breqtrri 4305 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
7051259lem4 14140 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7151259lem5 14141 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
721, 4, 52, 59, 4, 60, 61, 65, 69, 70, 71pockthi 13950 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1362    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   CCcc 9267   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    < clt 9405    - cmin 9582   2c2 10358   3c3 10359   4c4 10360   5c5 10361   7c7 10363   8c8 10364   9c9 10365   NN0cn0 10566  ;cdc 10742   ^cexp 11848   Primecprime 13745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-dvds 13518  df-gcd 13673  df-prm 13746  df-odz 13822  df-phi 13823  df-pc 13886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator