MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Unicode version

Theorem 1259prm 14264
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 14252 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 10700 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 10584 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10871 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 10698 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 10699 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10872 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10702 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10872 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10705 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2451 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 10555 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 10902 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2483 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 6202 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10872 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 10694 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 9443 . . . . 5  |-  1  e.  CC
20 pncan 9719 . . . . 5  |-  ( (;;; 1 2 5 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 1 2 5 8 )
2118, 19, 20mp2an 672 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2216, 21eqtri 2480 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
23 4nn0 10701 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
242, 23deccl 10872 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
25 7nn0 10704 . . . 4  |-  7  e.  NN0
26 eqid 2451 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
277, 2deccl 10872 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
28 eqid 2451 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
29 eqid 2451 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
30 3t3e9 10577 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
31 2p1e3 10548 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3230, 31oveq12i 6204 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
33 9p3e12 10921 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3432, 33eqtri 2480 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
35 4t3e12 10930 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
36 3cn 10499 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
37 2cn 10495 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
38 3p2e5 10557 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3936, 37, 38addcomli 9664 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
406, 7, 2, 35, 39decaddi 10902 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
412, 23, 7, 2, 28, 29, 2, 9, 6, 34, 40decmac 10897 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
42 7cn 10508 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
43 7t3e21 10941 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4442, 36, 43mulcomli 9496 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
45 1p2e3 10549 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
467, 6, 7, 44, 45decaddi 10902 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
473nncni 10435 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
48 7t4e28 10942 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
4942, 47, 48mulcomli 9496 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
5025, 2, 23, 28, 11, 7, 46, 49decmul1c 10905 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5124, 2, 25, 26, 11, 27, 41, 50decmul2c 10906 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5222, 51eqtr4i 2483 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
53 9nn0 10706 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5410, 53deccl 10872 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
555, 54eqeltri 2535 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5655nn0cni 10694 . . . 4  |-  N  e.  CC
57 npcan 9722 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5856, 19, 57mp2an 672 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
5958eqcomi 2464 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
60 1nn 10436 . 2  |-  1  e.  NN
61 2nn 10582 . 2  |-  2  e.  NN
622, 25deccl 10872 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6362numexp1 14210 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6463oveq2i 6203 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6552, 64eqtr4i 2483 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
66 7nn 10587 . . . 4  |-  7  e.  NN
67 4lt7 10608 . . . 4  |-  4  <  7
682, 23, 66, 67declt 10879 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6968, 63breqtrri 4417 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
7051259lem4 14262 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7151259lem5 14263 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
721, 4, 52, 59, 4, 60, 61, 65, 69, 70, 71pockthi 14072 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6192   CCcc 9383   1c1 9386    + caddc 9388    x. cmul 9390    < clt 9521    - cmin 9698   2c2 10474   3c3 10475   4c4 10476   5c5 10477   7c7 10479   8c8 10480   9c9 10481   NN0cn0 10682  ;cdc 10858   ^cexp 11968   Primecprime 13867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-dvds 13640  df-gcd 13795  df-prm 13868  df-odz 13944  df-phi 13945  df-pc 14008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator