MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Unicode version

Theorem 1259prm 14702
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 14690 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 10809 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 10691 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10989 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 10807 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 10808 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10990 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10811 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10990 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10814 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2454 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 10662 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 11020 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2486 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 6280 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10990 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 10803 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 9539 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2018, 19pncan3oi 9827 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2116, 20eqtri 2483 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
22 4nn0 10810 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
232, 22deccl 10990 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
24 7nn0 10813 . . . 4  |-  7  e.  NN0
25 eqid 2454 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
267, 2deccl 10990 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
27 eqid 2454 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
28 eqid 2454 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
29 3t3e9 10684 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
30 2p1e3 10655 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3129, 30oveq12i 6282 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
32 9p3e12 11039 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3331, 32eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
34 4t3e12 11048 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
35 3cn 10606 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
36 2cn 10602 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
37 3p2e5 10664 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3835, 36, 37addcomli 9761 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
396, 7, 2, 34, 38decaddi 11020 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
402, 22, 7, 2, 27, 28, 2, 9, 6, 33, 39decmac 11015 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
41 7cn 10615 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
42 7t3e21 11059 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4341, 35, 42mulcomli 9592 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
44 1p2e3 10656 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
457, 6, 7, 43, 44decaddi 11020 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
46 4cn 10609 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
47 7t4e28 11060 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
4841, 46, 47mulcomli 9592 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
4924, 2, 22, 27, 11, 7, 45, 48decmul1c 11023 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5023, 2, 24, 25, 11, 26, 40, 49decmul2c 11024 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5121, 50eqtr4i 2486 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
52 9nn0 10815 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5310, 52deccl 10990 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
545, 53eqeltri 2538 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5554nn0cni 10803 . . . 4  |-  N  e.  CC
56 npcan 9820 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5755, 19, 56mp2an 670 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
5857eqcomi 2467 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
59 1nn 10542 . 2  |-  1  e.  NN
60 2nn 10689 . 2  |-  2  e.  NN
612, 24deccl 10990 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6261numexp1 14647 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6362oveq2i 6281 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6451, 63eqtr4i 2486 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
65 7nn 10694 . . . 4  |-  7  e.  NN
66 4lt7 10715 . . . 4  |-  4  <  7
672, 22, 65, 66declt 10997 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6867, 62breqtrri 4464 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
6951259lem4 14700 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7051259lem5 14701 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
711, 4, 51, 58, 4, 59, 60, 64, 68, 69, 70pockthi 14509 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    - cmin 9796   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   5c5 10584   7c7 10586   8c8 10587   9c9 10588   NN0cn0 10791  ;cdc 10976   ^cexp 12148   Primecprime 14301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071  df-gcd 14229  df-prm 14302  df-odz 14379  df-phi 14380  df-pc 14445
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator