MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem5 Structured version   Unicode version

Theorem 1259lem5 14281
Description: Lemma for 1259prm 14282. Calculate the GCD of  2 ^ 3 4  -  1  ==  8 6 9 with  N  =  1 2 5 9. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259lem5  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1

Proof of Theorem 1259lem5
StepHypRef Expression
1 2nn 10594 . . . 4  |-  2  e.  NN
2 3nn0 10712 . . . . 5  |-  3  e.  NN0
3 4nn0 10713 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
42, 3deccl 10884 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
5 nnexpcl 11999 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN  /\ ; 3 4  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^; 3 4 )  e.  NN )
61, 4, 5mp2an 672 . . 3  |-  ( 2 ^; 3 4 )  e.  NN
7 nnm1nn0 10736 . . 3  |-  ( ( 2 ^; 3 4 )  e.  NN  ->  ( (
2 ^; 3 4 )  - 
1 )  e.  NN0 )
86, 7ax-mp 5 . 2  |-  ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  e.  NN0
9 8nn0 10717 . . . 4  |-  8  e.  NN0
10 6nn0 10715 . . . 4  |-  6  e.  NN0
119, 10deccl 10884 . . 3  |- ; 8 6  e.  NN0
12 9nn0 10718 . . 3  |-  9  e.  NN0
1311, 12deccl 10884 . 2  |- ;; 8 6 9  e.  NN0
14 1259prm.1 . . 3  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
15 1nn0 10710 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
16 2nn0 10711 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
1715, 16deccl 10884 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN0
18 5nn0 10714 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
1917, 18deccl 10884 . . . 4  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
20 9nn 10601 . . . 4  |-  9  e.  NN
2119, 20decnncl 10883 . . 3  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN
2214, 21eqeltri 2538 . 2  |-  N  e.  NN
23141259lem2 14278 . . 3  |-  ( ( 2 ^; 3 4 )  mod 
N )  =  (;; 8 7 0  mod 
N )
24 6p1e7 10565 . . . . 5  |-  ( 6  +  1 )  =  7
25 eqid 2454 . . . . 5  |- ; 8 6  = ; 8 6
269, 10, 24, 25decsuc 10893 . . . 4  |-  (; 8 6  +  1 )  = ; 8 7
27 eqid 2454 . . . 4  |- ;; 8 6 9  = ;; 8 6 9
2811, 26, 27decsucc 10897 . . 3  |-  (;; 8 6 9  +  1 )  = ;; 8 7 0
2922, 6, 15, 13, 23, 28modsubi 14223 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  mod  N
)  =  (;; 8 6 9  mod  N
)
302, 12deccl 10884 . . . 4  |- ; 3 9  e.  NN0
31 0nn0 10709 . . . 4  |-  0  e.  NN0
3230, 31deccl 10884 . . 3  |- ;; 3 9 0  e.  NN0
339, 12deccl 10884 . . . 4  |- ; 8 9  e.  NN0
3416, 15deccl 10884 . . . . . 6  |- ; 2 1  e.  NN0
3515, 2deccl 10884 . . . . . . 7  |- ; 1 3  e.  NN0
3634nn0zi 10786 . . . . . . . . 9  |- ; 2 1  e.  ZZ
3735nn0zi 10786 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  ZZ
38 gcdcom 13826 . . . . . . . . 9  |-  ( (; 2
1  e.  ZZ  /\ ; 1 3  e.  ZZ )  -> 
(; 2 1  gcd ; 1 3 )  =  (; 1 3  gcd ; 2 1 ) )
3936, 37, 38mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  (; 2 1  gcd ; 1 3 )  =  (; 1 3  gcd ; 2 1 )
40 3nn 10595 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
4115, 40decnncl 10883 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  e.  NN
42 8nn 10600 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  NN
43 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 3  = ; 1 3
449dec0h 10886 . . . . . . . . . . 11  |-  8  = ; 0 8
45 ax-1cn 9455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
4645mulid1i 9503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4745addid2i 9672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4846, 47oveq12i 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
49 1p1e2 10550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  1 )  =  2
5048, 49eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
51 3cn 10511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  CC
5251mulid1i 9503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
5352oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  8 )  =  ( 3  +  8 )
54 8cn 10522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  CC
55 8p3e11 10926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  3 )  = ; 1
1
5654, 51, 55addcomli 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  +  8 )  = ; 1
1
5753, 56eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
1
5815, 2, 31, 9, 43, 44, 15, 15, 15, 50, 57decmac 10909 . . . . . . . . . 10  |-  ( (; 1
3  x.  1 )  +  8 )  = ; 2
1
59 1nn 10448 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
60 8lt10 10640 . . . . . . . . . . 11  |-  8  <  10
6159, 2, 9, 60declti 10895 . . . . . . . . . 10  |-  8  < ; 1
3
6241, 15, 42, 58, 61ndvdsi 13736 . . . . . . . . 9  |-  -. ; 1 3  || ; 2 1
63 13prm 14265 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  e.  Prime
64 coprm 13908 . . . . . . . . . 10  |-  ( (; 1
3  e.  Prime  /\ ; 2 1  e.  ZZ )  ->  ( -. ; 1 3  || ; 2 1  <->  (; 1 3  gcd ; 2 1 )  =  1 ) )
6563, 36, 64mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( -. ; 1
3  || ; 2 1  <->  (; 1 3  gcd ; 2 1 )  =  1 )
6662, 65mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  gcd ; 2 1 )  =  1
6739, 66eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  (; 2 1  gcd ; 1 3 )  =  1
68 eqid 2454 . . . . . . . 8  |- ; 2 1  = ; 2 1
69 2cn 10507 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
7069mulid2i 9504 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
7145addid1i 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7270, 71oveq12i 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 2  +  1 )
73 2p1e3 10560 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  1 )  =  3
7472, 73eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  3
7546oveq1i 6213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  3 )  =  ( 1  +  3 )
76 3p1e4 10562 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  +  1 )  =  4
7751, 45, 76addcomli 9676 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  3 )  =  4
783dec0h 10886 . . . . . . . . 9  |-  4  = ; 0 4
7975, 77, 783eqtri 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  3 )  = ; 0
4
8016, 15, 15, 2, 68, 43, 15, 3, 31, 74, 79decma2c 10910 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x. ; 2 1 )  + ; 1
3 )  = ; 3 4
8115, 35, 34, 67, 80gcdi 14224 . . . . . 6  |-  (; 3 4  gcd ; 2 1 )  =  1
82 eqid 2454 . . . . . . 7  |- ; 3 4  = ; 3 4
83 3t2e6 10588 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
8451, 69, 83mulcomli 9508 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
8569addid1i 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  0 )  =  2
8684, 85oveq12i 6215 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 2  +  0 ) )  =  ( 6  +  2 )
87 6p2e8 10578 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  2 )  =  8
8886, 87eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 2  +  0 ) )  =  8
89 4cn 10514 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
90 4t2e8 10590 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
9189, 69, 90mulcomli 9508 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
9291oveq1i 6213 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  4 )  +  1 )  =  ( 8  +  1 )
93 8p1e9 10567 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  1 )  =  9
9412dec0h 10886 . . . . . . . 8  |-  9  = ; 0 9
9592, 93, 943eqtri 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  4 )  +  1 )  = ; 0
9
962, 3, 16, 15, 82, 68, 16, 12, 31, 88, 95decma2c 10910 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x. ; 3 4 )  + ; 2
1 )  = ; 8 9
9716, 34, 4, 81, 96gcdi 14224 . . . . 5  |-  (; 8 9  gcd ; 3 4 )  =  1
98 eqid 2454 . . . . . 6  |- ; 8 9  = ; 8 9
99 4p3e7 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  +  3 )  =  7
10089, 51, 99addcomli 9676 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  4 )  =  7
101100oveq2i 6214 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  8 )  +  ( 3  +  4 ) )  =  ( ( 4  x.  8 )  +  7 )
102 7nn0 10716 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
103 8t4e32 10960 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  4 )  = ; 3
2
10454, 89, 103mulcomli 9508 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  8 )  = ; 3
2
105 7cn 10520 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
106 7p2e9 10581 . . . . . . . . 9  |-  ( 7  +  2 )  =  9
107105, 69, 106addcomli 9676 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  7 )  =  9
1082, 16, 102, 104, 107decaddi 10914 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  8 )  +  7 )  = ; 3
9
109101, 108eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  8 )  +  ( 3  +  4 ) )  = ; 3
9
110 9cn 10524 . . . . . . . 8  |-  9  e.  CC
111 9t4e36 10967 . . . . . . . 8  |-  ( 9  x.  4 )  = ; 3
6
112110, 89, 111mulcomli 9508 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  9 )  = ; 3
6
113 6p4e10 10580 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  4 )  =  10
1142, 10, 3, 112, 76, 113decaddci2 10916 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  9 )  +  4 )  = ; 4
0
1159, 12, 2, 3, 98, 82, 3, 31, 3, 109, 114decma2c 10910 . . . . 5  |-  ( ( 4  x. ; 8 9 )  + ; 3
4 )  = ;; 3 9 0
1163, 4, 33, 97, 115gcdi 14224 . . . 4  |-  (;; 3 9 0  gcd ; 8 9 )  =  1
117 eqid 2454 . . . . 5  |- ;; 3 9 0  = ;; 3 9 0
118 eqid 2454 . . . . . 6  |- ; 3 9  = ; 3 9
11954addid1i 9671 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  0 )  =  8
120119, 44eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( 8  +  0 )  = ; 0
8
12169addid2i 9672 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
12284, 121oveq12i 6215 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 6  +  2 )
123122, 87eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  8
124 9t2e18 10965 . . . . . . . 8  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
125110, 69, 124mulcomli 9508 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  9 )  = ; 1
8
126 8p8e16 10931 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
12715, 9, 9, 125, 49, 10, 126decaddci 10915 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  9 )  +  8 )  = ; 2
6
1282, 12, 31, 9, 118, 120, 16, 10, 16, 123, 127decma2c 10910 . . . . 5  |-  ( ( 2  x. ; 3 9 )  +  ( 8  +  0 ) )  = ; 8 6
129 2t0e0 10592 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
130129oveq1i 6213 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  9 )  =  ( 0  +  9 )
131110addid2i 9672 . . . . . 6  |-  ( 0  +  9 )  =  9
132130, 131, 943eqtri 2487 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  9 )  = ; 0
9
13330, 31, 9, 12, 117, 98, 16, 12, 31, 128, 132decma2c 10910 . . . 4  |-  ( ( 2  x. ;; 3 9 0 )  + ; 8
9 )  = ;; 8 6 9
13416, 33, 32, 116, 133gcdi 14224 . . 3  |-  (;; 8 6 9  gcd ;; 3 9 0 )  =  1
13530nn0cni 10706 . . . . . . 7  |- ; 3 9  e.  CC
136135addid1i 9671 . . . . . 6  |-  (; 3 9  +  0 )  = ; 3 9
13754mulid2i 9504 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
138137, 76oveq12i 6215 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 3  +  1 ) )  =  ( 8  +  4 )
139 8p4e12 10927 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  4 )  = ; 1
2
140138, 139eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 3  +  1 ) )  = ; 1
2
141 6cn 10518 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
142141mulid2i 9504 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
143142oveq1i 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  9 )  =  ( 6  +  9 )
144 9p6e15 10936 . . . . . . . 8  |-  ( 9  +  6 )  = ; 1
5
145110, 141, 144addcomli 9676 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  9 )  = ; 1
5
146143, 145eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  9 )  = ; 1
5
1479, 10, 2, 12, 25, 136, 15, 18, 15, 140, 146decma2c 10910 . . . . 5  |-  ( ( 1  x. ; 8 6 )  +  (; 3 9  +  0 ) )  = ;; 1 2 5
148110mulid2i 9504 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
149148oveq1i 6213 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  0 )  =  ( 9  +  0 )
150110addid1i 9671 . . . . . 6  |-  ( 9  +  0 )  =  9
151149, 150, 943eqtri 2487 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  0 )  = ; 0
9
15211, 12, 30, 31, 27, 117, 15, 12, 31, 147, 151decma2c 10910 . . . 4  |-  ( ( 1  x. ;; 8 6 9 )  + ;; 3 9 0 )  = ;;; 1 2 5 9
153152, 14eqtr4i 2486 . . 3  |-  ( ( 1  x. ;; 8 6 9 )  + ;; 3 9 0 )  =  N
15415, 32, 13, 134, 153gcdi 14224 . 2  |-  ( N  gcd ;; 8 6 9 )  =  1
1558, 13, 22, 29, 154gcdmodi 14225 1  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400    x. cmul 9402    - cmin 9710   NNcn 10437   2c2 10486   3c3 10487   4c4 10488   5c5 10489   6c6 10490   7c7 10491   8c8 10492   9c9 10493   NN0cn0 10694   ZZcz 10761  ;cdc 10870   ^cexp 11986    || cdivides 13657    gcd cgcd 13812   Primecprime 13885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fl 11763  df-mod 11830  df-seq 11928  df-exp 11987  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-dvds 13658  df-gcd 13813  df-prm 13886
This theorem is referenced by:  1259prm  14282
  Copyright terms: Public domain W3C validator