MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0z Unicode version

Theorem 0z 10249
Description: Zero is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
0z  |-  0  e.  ZZ

Proof of Theorem 0z
StepHypRef Expression
1 0re 9047 . 2  |-  0  e.  RR
2 eqid 2404 . . 3  |-  0  =  0
323mix1i 1129 . 2  |-  ( 0  =  0  \/  0  e.  NN  \/  -u 0  e.  NN )
4 elz 10240 . 2  |-  ( 0  e.  ZZ  <->  ( 0  e.  RR  /\  (
0  =  0  \/  0  e.  NN  \/  -u 0  e.  NN ) ) )
51, 3, 4mpbir2an 887 1  |-  0  e.  ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1721   RRcr 8945   0cc0 8946   -ucneg 9248   NNcn 9956   ZZcz 10238
This theorem is referenced by:  elnn0z  10250  nn0ssz  10258  znegcl  10269  nn0lt10b  10292  recnz  10301  gtndiv  10303  zeo  10311  nn0ind  10322  fnn0ind  10325  eluzadd  10470  eluzsub  10471  nn0uz  10476  nn0infm  10513  eqreznegel  10517  fz10  11031  fz01en  11035  fz0tp  11059  fznn0  11069  fzctr  11072  1fv  11075  fzshftral  11089  lbfzo0  11125  fzosubel3  11134  fzo01  11137  fzo0to2pr  11139  fzo0to3tp  11140  injresinj  11155  flge0nn0  11180  btwnzge0  11185  zmodfz  11223  modid  11225  ltweuz  11256  uzenom  11259  fzennn  11262  cardfz  11264  hashgf1o  11265  seqfn  11290  seq1  11291  seqp1  11293  exp0  11341  bcnn  11558  bcm1k  11561  bcval5  11564  bcpasc  11567  hashgadd  11606  hashbc  11657  fz1isolem  11665  brfi1uzind  11670  eqs1  11716  s111  11717  swrds1  11742  s2f1o  11818  f1oun2prg  11819  fzomaxdiflem  12101  rexfiuz  12106  climz  12298  climaddc1  12383  climmulc2  12385  climsubc1  12386  climsubc2  12387  climlec2  12407  sumss  12473  fsumzcl  12484  binomlem  12563  binom  12564  bcxmas  12570  isumnn0nn  12577  climcndslem1  12584  climcnds  12586  harmonic  12593  arisum2  12595  explecnv  12599  geolim  12602  geolim2  12603  geomulcvg  12608  geoisum  12609  geoisumr  12610  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  mertens  12618  ef0lem  12636  eff  12639  efcvg  12642  efcvgfsum  12643  reefcl  12644  ege2le3  12647  efcj  12649  eftlub  12665  effsumlt  12667  efgt1p2  12670  efgt1p  12671  eflegeo  12677  eirrlem  12758  ruclem4  12788  ruclem6  12789  nthruc  12805  dvds0  12820  0dvds  12825  fsumdvds  12848  dvdsmod  12861  odd2np1lem  12862  divalglem6  12873  divalglem7  12874  divalglem8  12875  bitsfzolem  12901  bitsfzo  12902  bitsmod  12903  0bits  12906  m1bits  12907  bitsinv1lem  12908  sadcf  12920  sadc0  12921  sadadd3  12928  smupf  12945  smup0  12946  gcd0val  12964  gcddvds  12970  gcd0id  12978  gcdid0  12979  gcdaddm  12984  gcdid  12986  bezoutlem1  12993  bezout  12997  alginv  13021  algcvg  13022  algcvga  13025  algfx  13026  eucalgcvga  13032  eucalg  13033  dfphi2  13118  phiprmpw  13120  fermltl  13128  prmdiveq  13130  prmdivdiv  13131  iserodd  13164  pcpre1  13171  pc0  13183  pcdvdstr  13204  pcfaclem  13222  qexpz  13225  prmreclem2  13240  prmreclem4  13242  zgz  13256  igz  13257  4sqlem19  13286  vdwapun  13297  vdwap0  13299  ramz  13348  1259lem1  13405  1259lem4  13408  2503lem2  13412  4001lem1  13415  4001lem3  13417  gsumws1  14740  mulg0  14850  odf1  15153  dfod2  15155  zaddablx  15438  0cyg  15457  psrbaglefi  16392  ltbwe  16488  zndvds0  16786  iscmet3lem3  19196  vitalilem1  19453  iblcnlem1  19632  itgcnlem  19634  dvnff  19762  dvn0  19763  dvexp3  19815  evlslem1  19889  dgrcl  20105  dgrub  20106  dgrlb  20108  plyco  20113  0dgr  20117  0dgrb  20118  coefv0  20119  coemulc  20126  vieta1lem2  20181  vieta1  20182  elqaalem1  20189  elqaalem2  20190  elqaalem3  20191  aareccl  20196  aannenlem1  20198  aannenlem2  20199  aalioulem1  20202  geolim3  20209  taylfval  20228  tayl0  20231  taylplem1  20232  taylplem2  20233  taylpfval  20234  dvtaylp  20239  radcnvlem1  20282  radcnvlem3  20284  radcnv0  20285  radcnvlt2  20288  dvradcnv  20290  pserulm  20291  psercn2  20292  pserdvlem2  20297  pserdv2  20299  abelthlem4  20303  abelthlem5  20304  abelthlem6  20305  abelthlem7  20307  abelthlem8  20308  abelthlem9  20309  cosne0  20385  logf1o2  20494  advlogexp  20499  logtayl  20504  ang180lem3  20606  1cubr  20635  leibpi  20735  leibpisum  20736  log2cnv  20737  log2tlbnd  20738  log2ublem3  20741  fsumharmonic  20803  wilthlem1  20804  basellem3  20818  muf  20876  0sgm  20880  1sgmprm  20936  ppiub  20941  dchrptlem2  21002  bcmono  21014  bposlem1  21021  bposlem2  21022  lgslem2  21034  lgslem4  21036  lgsfcl2  21039  lgsval2lem  21043  lgs0  21046  lgsdir2lem3  21062  lgsne0  21070  lgsdirnn0  21076  lgsdinn0  21077  pntrlog2bndlem4  21227  padicabv  21277  ostth2lem2  21281  usgraexvlem  21367  usgraexmpldifpr  21372  usgraexmpl  21373  2trllemD  21510  2trllemG  21511  wlkntrllem2  21513  wlkntrl  21515  0pth  21523  0spth  21524  constr1trl  21541  constr2spthlem1  21547  usgrcyclnl1  21580  usgrcyclnl2  21581  3v3e3cycl1  21584  constr3lem4  21587  constr3trllem3  21592  constr3trllem5  21594  4cycl4v4e  21606  4cycl4dv4e  21608  eupa0  21649  eupares  21650  gx0  21802  zaddsubgo  21895  zzs0  24220  zzsnm  24295  cnzh  24307  rezh  24308  qqh0  24321  qqhcn  24328  qqhucn  24329  ballotlem2  24699  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  ballotlemfval0  24706  ballotlemodife  24708  subfacval2  24826  cvmliftlem4  24928  cvmliftlem5  24929  zmodid2  25067  relexp0  25082  fz0n  25155  4bc2eq6  25157  risefacval2  25279  fallfacval2  25280  risefall0lem  25294  fallfacfac  25302  binomfallfaclem2  25307  binomfallfac  25308  bpoly1  26001  bpolydiflem  26004  bpoly2  26007  bpoly3  26008  bpoly4  26009  itg2addnclem2  26156  sdclem1  26337  heibor1lem  26408  heiborlem4  26413  mzpnegmpt  26691  diophrw  26707  vdioph  26728  diophren  26764  irrapxlem1  26775  rmxy0  26876  monotoddzzfi  26895  zindbi  26899  rmyeq0  26908  rmynn  26911  jm2.24nn  26914  jm2.17c  26917  jm2.24  26918  acongrep  26935  acongeq  26938  dvdsabsmod0  26947  jm2.18  26949  jm2.23  26957  jm2.20nn  26958  jm2.15nn0  26964  jm2.16nn0  26965  jm2.27a  26966  jm2.27c  26968  rmydioph  26975  mpaaeu  27223  stoweidlem11  27627  stoweidlem17  27633  stoweidlem26  27642  stoweidlem34  27650  stirlinglem5  27694  stirlinglem7  27696  f13idfv  27963  elfzelfzelfz  27981  ubmelfzo  27986  ubmelm1fzo  27987  swrdltnd  28000  swrdccatin12lem3b  28022  swrdccat3b  28031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043  df-neg 9250  df-z 10239
  Copyright terms: Public domain W3C validator