Theorem 0z 7355

Description: Zero is an integer.

Assertion

Ref	Expression
0z	|- 0 e. ZZ

Proof of Theorem 0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 7346	. 2 |- (0 e. ZZ <-> (0 e. RR /\ (0 = 0 \/ 0 e. NN \/ -u0 e. NN)))
2		0re 6603	. 2 |- 0 e. RR
3		eqid 1884	. . . 4 |- 0 = 0
4	3	orci 292	. . 3 |- (0 = 0 \/ (0 e. NN \/ -u0 e. NN))
5		3orass 861	. . 3 |- ((0 = 0 \/ 0 e. NN \/ -u0 e. NN) <-> (0 = 0 \/ (0 e. NN \/ -u0 e. NN)))
6	4, 5	mpbir 207	. 2 |- (0 = 0 \/ 0 e. NN \/ -u0 e. NN)
7	1, 2, 6	mpbir2an 800	1 |- 0 e. ZZ

Syntax hints:   \/ wo 239   \/ w3o 857   = wceq 1298   e. wcel 1300  RRcr 6385  0cc0 6386  -ucneg 6446  NNcn 6449  ZZcz 6451

This theorem is referenced by:  elnn0z 7356  nn0ssz 7361  znegcl 7372  elnn0nn 7380  recnz 7403  gtndiv 7405  zeo 7411  nn0ind 7424  flge0nn0 7482  btwnzge0 7486  flmulnn0 7508  flmulnn0OLD 7509  modid 7512  nn0uz 7607  nn0infm 7633  fz01en 7665  elfz2nn0 7667  fznn0 7694  fzshftral 7701  cardfz 7719  nthruc 7995  cvganz 8176  bcpasci 8221  hashgf1o 8228  fsumshft 8291  binomlem6 8331  binomi 8332  bcxmas 8336  clmi1i 8346  clm4a 8350  clmi2a 8351  climconst2 8355  climconst3 8356  climunii 8358  2climnn0 8363  climshfti 8364  climresi 8365  climshft2i 8366  serzclim0 8369  climaddlem3 8376  climmullem8 8387  serzf0i 8429  isumnn0nn 8468  isum0spliti 8478  arisumi 8487  geolimilem 8497  geolim1i 8500  geoisum 8504  fsum0diaglem1 8518  fsum0diaglem2 8519  fsum0diag 8520  fsum0diag2 8521  fsum0diag4 8523  efcltlem1 8566  ef0lem 8572  efcl 8574  efcvg 8576  efcvgfsum 8577  reefcli 8579  efcji 8598  efaddlem26 8625  eftlexiOLD 8639  ef1tllem 8643  eirrlem5 8655  eirr 8656  efm1limi 8676  eflegeolem2 8679  nnenom 8767  gx0 9384  zaddsubg 9438  nn0lt10b 13603  fnn0ind 13611  zmodid2 13614  zmodfz 13615  eqreznegel 13654  dvds0 13670  0dvds 13675  divalglem6 13701  divalglem7 13702  divalglem8 13703  gcdval 13715  gcd0val 13716  gcddvds 13722  gcdf 13725  gcd0id 13729  gcdid0 13730  nn0gcdid0 13731  gcdaddm 13735  gcdid 13736  zmodfzcl 15780  eluzadd 15782  eluzsub 15783  absrdbnd 15799  fsumltisumi 15823  iserzshft2 15829  isumshft2 15830  geomcau 15849  heiborlem35 15989  zaddablxNEW 17141

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-neg 6513  df-z 7345

Copyright terms: Public domain