MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0unit Structured version   Unicode version

Theorem 0unit 17836
Description: The additive identity is a unit if and only if  1  =  0, i.e. we are in the zero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0unit.1  |-  U  =  (Unit `  R )
0unit.2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
0unit.3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
0unit  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
e.  U  <->  .1.  =  .0.  ) )

Proof of Theorem 0unit
StepHypRef Expression
1 0unit.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2420 . . . 4  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
3 eqid 2420 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 0unit.3 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
51, 2, 3, 4unitrinv 17834 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  .0.  ) )  =  .1.  )
6 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
71, 2, 6ringinvcl 17832 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
8 0unit.2 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
96, 3, 8ringlz 17745 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  .0.  )
)  =  .0.  )
107, 9syldan 472 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  .0.  ) )  =  .0.  )
115, 10eqtr3d 2463 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  .1.  =  .0.  )
12 simpr 462 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  =  .0.  )  ->  .1.  =  .0.  )
131, 41unit 17814 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  U )
1413adantr 466 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  =  .0.  )  ->  .1.  e.  U )
1512, 14eqeltrrd 2509 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  =  .0.  )  ->  .0.  e.  U )
1611, 15impbida 840 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
e.  U  <->  .1.  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15073   .rcmulr 15143   0gc0g 15290   1rcur 17663   Ringcrg 17708  Unitcui 17795   invrcinvr 17827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-tpos 6972  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-0g 15292  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-mgp 17652  df-ur 17664  df-ring 17710  df-oppr 17779  df-dvdsr 17797  df-unit 17798  df-invr 17828
This theorem is referenced by:  nzrunit  18419  fidomndrng  18459  gzrngunitlem  18960
  Copyright terms: Public domain W3C validator