MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0spth Structured version   Unicode version

Theorem 0spth 24346
Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a simple path if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
0spth  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )

Proof of Theorem 0spth
StepHypRef Expression
1 0ex 4577 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 isspth 24344 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  ( (/)  e.  _V  /\  P  e.  Z ) )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  ( (/) ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
31, 2mpanr1 683 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  ( (/) ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
4 0trl 24321 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V Trails  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
54anbi1d 704 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  Fun  `' P ) ) )
6 0z 10876 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 fzsn 11726 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
98feq2i 5724 . . . . 5  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  P : { 0 } --> V )
10 c0ex 9591 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1110fsn2 6062 . . . . . 6  |-  ( P : { 0 } --> V  <->  ( ( P `
 0 )  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  ( P `  0 )
>. } ) )
12 funcnvsn 5633 . . . . . . . 8  |-  Fun  `' { <. 0 ,  ( P `  0 )
>. }
13 cnveq 5176 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  `' P  =  `' { <. 0 ,  ( P `
 0 ) >. } )
1413funeqd 5609 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  ( Fun  `' P  <->  Fun  `' { <. 0 ,  ( P `
 0 ) >. } ) )
1512, 14mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. }  ->  Fun  `' P )
1615adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( P `  0
)  e.  V  /\  P  =  { <. 0 ,  ( P ` 
0 ) >. } )  ->  Fun  `' P
)
1711, 16sylbi 195 . . . . 5  |-  ( P : { 0 } --> V  ->  Fun  `' P
)
189, 17sylbi 195 . . . 4  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  ->  Fun  `' P )
1918pm4.71i 632 . . 3  |-  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  <->  ( P : ( 0 ... 0 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
205, 19syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  (
( (/) ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  P :
( 0 ... 0
) --> V ) )
213, 20bitrd 253 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y
)  /\  P  e.  Z )  ->  ( (/) ( V SPaths  E ) P  <->  P : ( 0 ... 0 ) --> V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   ZZcz 10865   ...cfz 11673   Trails ctrail 24272   SPaths cspath 24274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-wlk 24281  df-trail 24282  df-spth 24284
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator