MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sgmppw Structured version   Unicode version

Theorem 0sgmppw 22512
Description: A prime power  P ^ K has  K  +  1 divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
0sgmppw  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
0  sigma  ( P ^ K ) )  =  ( K  +  1 ) )

Proof of Theorem 0sgmppw
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 13758 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2 nnexpcl 11870 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( P ^ K
)  e.  NN )
31, 2sylan 471 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( P ^ K )  e.  NN )
4 0sgm 22457 . . . 4  |-  ( ( P ^ K )  e.  NN  ->  (
0  sigma  ( P ^ K ) )  =  ( # `  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) } ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
0  sigma  ( P ^ K ) )  =  ( # `  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) } ) )
6 fzfid 11787 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
0 ... K )  e. 
Fin )
7 nnex 10320 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
87rabex 4438 . . . . . 6  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) }  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) }  e.  _V )
10 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 0 ... K )  |->  ( P ^ n ) )  =  ( n  e.  ( 0 ... K
)  |->  ( P ^
n ) )
1110dvdsppwf1o 22501 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
n  e.  ( 0 ... K )  |->  ( P ^ n ) ) : ( 0 ... K ) -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) } )
12 f1oen2g 7318 . . . . 5  |-  ( ( ( 0 ... K
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) }  e.  _V  /\  ( n  e.  ( 0 ... K
)  |->  ( P ^
n ) ) : ( 0 ... K
)
-1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) } )  ->  ( 0 ... K )  ~~  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) } )
136, 9, 11, 12syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
0 ... K )  ~~  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) } )
14 hasheni 12111 . . . 4  |-  ( ( 0 ... K ) 
~~  { x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) }  ->  ( # `  (
0 ... K ) )  =  ( # `  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) } ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( 0 ... K ) )  =  ( # `  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( P ^ K ) } ) )
165, 15eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
0  sigma  ( P ^ K ) )  =  ( # `  (
0 ... K ) ) )
17 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
18 nn0uz 10887 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1917, 18syl6eleq 2528 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
20 hashfz 12180 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( # `  (
0 ... K ) )  =  ( ( K  -  0 )  +  1 ) )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( 0 ... K ) )  =  ( ( K  - 
0 )  +  1 ) )
22 nn0cn 10581 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
2322adantl 466 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
2423subid1d 9700 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( K  -  0 )  =  K )
2524oveq1d 6101 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
( K  -  0 )  +  1 )  =  ( K  + 
1 ) )
2616, 21, 253eqtrd 2474 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  K  e.  NN0 )  ->  (
0  sigma  ( P ^ K ) )  =  ( K  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ~~ cen 7299   Fincfn 7302   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429   ^cexp 11857   #chash 12095    || cdivides 13527   Primecprime 13755    sigma csgm 22408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984  df-sgm 22414
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator