Theorem 0sdomg 7726

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0sdomg	|- ( A e. V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem 0sdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0domg 7724	. . 3 |- ( A e. V -> (/) ~<_ A )
2		brsdom 7617	. . . 4 |- ( (/) ~< A <-> ( (/) ~<_ A /\ -. (/) ~~ A ) )
3	2	baib 919	. . 3 |- ( (/) ~<_ A -> ( (/) ~< A <-> -. (/) ~~ A ) )
4	1, 3	syl 17	. 2 |- ( A e. V -> ( (/) ~< A <-> -. (/) ~~ A ) )
5		ensymb 7642	. . . 4 |- ( (/) ~~ A <-> A ~~ (/) )
6		en0 7657	. . . 4 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
7	5, 6	bitri 257	. . 3 |- ( (/) ~~ A <-> A = (/) )
8	7	necon3bbii 2682	. 2 |- ( -. (/) ~~ A <-> A =/= (/) )
9	4, 8	syl6bb 269	1 |- ( A e. V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   (/)c0 3742   class class class wbr 4415   ~~ cen 7591   ~<_ cdom 7592   ~< csdm 7593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597

This theorem is referenced by:  0sdom  7728  fodomr  7748  pwdom  7749  sdom1  7797  infn0  7858  fodomfib  7876  domwdom  8114  iunfictbso  8570  cdalepw  8651  fin45  8847  fodomb  8979  brdom3  8981  gchxpidm  9119  inar1  9225  csdfil  20957  ovoliunnul  22508  carsgclctunlem3  29200  ovoliunnfl  32026  voliunnfl  32028  volsupnfl  32029  nnfoctb  37420  caragenunicl  38382