Theorem 0sdomg 7639

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0sdomg	|- ( A e. V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem 0sdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0domg 7637	. . 3 |- ( A e. V -> (/) ~<_ A )
2		brsdom 7531	. . . 4 |- ( (/) ~< A <-> ( (/) ~<_ A /\ -. (/) ~~ A ) )
3	2	baib 901	. . 3 |- ( (/) ~<_ A -> ( (/) ~< A <-> -. (/) ~~ A ) )
4	1, 3	syl 16	. 2 |- ( A e. V -> ( (/) ~< A <-> -. (/) ~~ A ) )
5		ensymb 7556	. . . 4 |- ( (/) ~~ A <-> A ~~ (/) )
6		en0 7571	. . . 4 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
7	5, 6	bitri 249	. . 3 |- ( (/) ~~ A <-> A = (/) )
8	7	necon3bbii 2715	. 2 |- ( -. (/) ~~ A <-> A =/= (/) )
9	4, 8	syl6bb 261	1 |- ( A e. V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   ~~ cen 7506   ~<_ cdom 7507   ~< csdm 7508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512

This theorem is referenced by:  0sdom  7641  fodomr  7661  pwdom  7662  sdom1  7712  infn0  7774  fodomfib  7792  domwdom  7992  iunfictbso  8486  cdalepw  8567  fin45  8763  fodomb  8895  brdom3  8897  gchxpidm  9036  inar1  9142  csdfil  20561  ovoliunnul  22084  carsgclctunlem3  28528  ovoliunnfl  30296  voliunnfl  30298  volsupnfl  30299