Theorem 0sdomg 4529

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty.

Assertion

Ref	Expression
0sdomg	|- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))

Proof of Theorem 0sdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymg 4472	. . . . 5 |- (A e. B -> ((/) ~~ A -> A ~~ (/)))
2		0ex 2766	. . . . . 6 |- (/) e. V
3	2	ensym 4473	. . . . 5 |- (A ~~ (/) -> (/) ~~ A)
4	1, 3	impbid1 528	. . . 4 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A ~~ (/)))
5		en0 4484	. . . 4 |- (A ~~ (/) <-> A = (/))
6	4, 5	syl6bb 547	. . 3 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A = (/)))
7	6	notbid 622	. 2 |- (A e. B -> (-. (/) ~~ A <-> -. A = (/)))
8		brsdom 4442	. . 3 |- ((/) ~< A <-> ((/) ~<_ A /\ -. (/) ~~ A))
9		0dom 4527	. . 3 |- (/) ~<_ A
10	8, 9	mpbiran 740	. 2 |- ((/) ~< A <-> -. (/) ~~ A)
11		df-ne 1634	. 2 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
12	7, 10, 11	3bitr4g 566	1 |- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   = wceq 997   e. wcel 999   =/= wne 1632  (/)c0 2331   class class class wbr 2674   ~~ cen 4425   ~<_ cdom 4426   ~< csdm 4427

This theorem is referenced by:  0sdom 4530  fodomr 4546  fodomfib 4627  fodomb 4862  hgrablkcard 10858

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-er 4319  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431

Copyright terms: Public domain