Theorem 0sdomg 5529

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty.

Assertion

Ref	Expression
0sdomg	|- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))

Proof of Theorem 0sdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymg 5470	. . . . 5 |- (A e. B -> ((/) ~~ A -> A ~~ (/)))
2		0ex 3446	. . . . . 6 |- (/) e. _V
3	2	ensym 5471	. . . . 5 |- (A ~~ (/) -> (/) ~~ A)
4	1, 3	impbid1 575	. . . 4 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A ~~ (/)))
5		en0 5482	. . . 4 |- (A ~~ (/) <-> A = (/))
6	4, 5	syl6bb 595	. . 3 |- (A e. B -> ((/) ~~ A <-> A = (/)))
7	6	notbid 673	. 2 |- (A e. B -> (-. (/) ~~ A <-> -. A = (/)))
8		brsdom 5440	. . 3 |- ((/) ~< A <-> ((/) ~<_ A /\ -. (/) ~~ A))
9		0dom 5527	. . 3 |- (/) ~<_ A
10	8, 9	mpbiran 798	. 2 |- ((/) ~< A <-> -. (/) ~~ A)
11		df-ne 2019	. 2 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
12	7, 10, 11	3bitr4g 614	1 |- (A e. B -> ((/) ~< A <-> A =/= (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425

This theorem is referenced by:  0sdom 5530  fodomr 5547  fodomfib 5657  fodomb 5962  cptarc 15242  hgrablkcard 16296

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429

Copyright terms: Public domain