Theorem 0sdomg 7654

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0sdomg	|- ( A e. V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem 0sdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0domg 7652	. . 3 |- ( A e. V -> (/) ~<_ A )
2		brsdom 7546	. . . 4 |- ( (/) ~< A <-> ( (/) ~<_ A /\ -. (/) ~~ A ) )
3	2	baib 911	. . 3 |- ( (/) ~<_ A -> ( (/) ~< A <-> -. (/) ~~ A ) )
4	1, 3	syl 17	. 2 |- ( A e. V -> ( (/) ~< A <-> -. (/) ~~ A ) )
5		ensymb 7571	. . . 4 |- ( (/) ~~ A <-> A ~~ (/) )
6		en0 7586	. . . 4 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
7	5, 6	bitri 252	. . 3 |- ( (/) ~~ A <-> A = (/) )
8	7	necon3bbii 2648	. 2 |- ( -. (/) ~~ A <-> A =/= (/) )
9	4, 8	syl6bb 264	1 |- ( A e. V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   (/)c0 3704   class class class wbr 4366   ~~ cen 7521   ~<_ cdom 7522   ~< csdm 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527

This theorem is referenced by:  0sdom  7656  fodomr  7676  pwdom  7677  sdom1  7725  infn0  7786  fodomfib  7804  domwdom  8042  iunfictbso  8496  cdalepw  8577  fin45  8773  fodomb  8905  brdom3  8907  gchxpidm  9045  inar1  9151  csdfil  20851  ovoliunnul  22402  carsgclctunlem3  29104  ovoliunnfl  31889  voliunnfl  31891  volsupnfl  31892  nnfoctb  37299  caragenunicl  38196