HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem 0sdom1dom 4589
Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one.
Hypothesis
Ref Expression
0sdom1dom.1 |- A e. V
Assertion
Ref Expression
0sdom1dom |- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Proof of Theorem 0sdom1dom
StepHypRef Expression
1 0sdom1dom.1 . . . . 5 |- A e. V
210sdom 4530 . . . 4 |- ((/) ~< A <-> A =/= (/))
3 ne0 2340 . . . 4 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
42, 3bitri 180 . . 3 |- ((/) ~< A <-> E.x x e. A)
5 snssi 2520 . . . . 5 |- (x e. A -> {x} (_ A)
6 ssdom2g 4470 . . . . . 6 |- (A e. V -> ({x} (_ A -> {x} ~<_ A))
71, 6ax-mp 7 . . . . 5 |- ({x} (_ A -> {x} ~<_ A)
8 1on 4196 . . . . . . . 8 |- 1o e. On
98elisseti 1865 . . . . . . 7 |- 1o e. V
10 visset 1860 . . . . . . . 8 |- x e. V
1110ensn1 4485 . . . . . . 7 |- {x} ~~ 1o
129, 11ensymi 4474 . . . . . 6 |- 1o ~~ {x}
13 endomtr 4481 . . . . . 6 |- ((1o ~~ {x} /\ {x} ~<_ A) -> 1o ~<_ A)
1412, 13mpan 707 . . . . 5 |- ({x} ~<_ A -> 1o ~<_ A)
155, 7, 143syl 20 . . . 4 |- (x e. A -> 1o ~<_ A)
161519.23aiv 1337 . . 3 |- (E.x x e. A -> 1o ~<_ A)
174, 16sylbi 206 . 2 |- ((/) ~< A -> 1o ~<_ A)
18 df-1o 4191 . . . 4 |- 1o = suc (/)
1918breq1i 2681 . . 3 |- (1o ~<_ A <-> suc (/) ~<_ A)
20 peano1 3206 . . . 4 |- (/) e. om
21 sucdomi 4588 . . . 4 |- (((/) e. om /\ A e. V) -> (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A))
2220, 1, 21mp2an 709 . . 3 |- (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A)
2319, 22sylbi 206 . 2 |- (1o ~<_ A -> (/) ~< A)
2417, 23impbii 164 1 |- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   e. wcel 999  E.wex 1021   =/= wne 1632  Vcvv 1858   (_ wss 2098  (/)c0 2331  {csn 2461   class class class wbr 2674  Oncon0 3005  suc csuc 3007  omcom 3188  1oc1o 4186   ~~ cen 4425   ~<_ cdom 4426   ~< csdm 4427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922
This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-1o 4191  df-er 4319  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431
Copyright terms: Public domain