MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sdom1dom Structured version   Unicode version

Theorem 0sdom1dom 7717
Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
0sdom1dom  |-  ( (/)  ~<  A 
<->  1o  ~<_  A )

Proof of Theorem 0sdom1dom
StepHypRef Expression
1 peano1 6703 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 sucdom 7715 . . 3  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( (/)  ~<  A  <->  suc  (/)  ~<_  A ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( (/)  ~<  A 
<->  suc  (/)  ~<_  A )
4 df-1o 7130 . . 3  |-  1o  =  suc  (/)
54breq1i 4454 . 2  |-  ( 1o  ~<_  A  <->  suc  (/)  ~<_  A )
63, 5bitr4i 252 1  |-  ( (/)  ~<  A 
<->  1o  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1767   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   suc csuc 4880   omcom 6684   1oc1o 7123    ~<_ cdom 7514    ~< csdm 7515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519
This theorem is referenced by:  sdom1  7719  cdalepw  8576  fin45  8772  gchxpidm  9047  rankcf  9155  snct  27234
  Copyright terms: Public domain W3C validator