Theorem 0sdom1dom 4589

Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one.

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom1dom.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	|- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom1dom.1	. . . . 5 |- A e. V
2	1	0sdom 4530	. . . 4 |- ((/) ~< A <-> A =/= (/))
3		ne0 2340	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
4	2, 3	bitri 180	. . 3 |- ((/) ~< A <-> E.x x e. A)
5		snssi 2520	. . . . 5 |- (x e. A -> {x} (_ A)
6		ssdom2g 4470	. . . . . 6 |- (A e. V -> ({x} (_ A -> {x} ~<_ A))
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- ({x} (_ A -> {x} ~<_ A)
8		1on 4196	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
9	8	elisseti 1865	. . . . . . 7 |- 1o e. V
10		visset 1860	. . . . . . . 8 |- x e. V
11	10	ensn1 4485	. . . . . . 7 |- {x} ~~ 1o
12	9, 11	ensymi 4474	. . . . . 6 |- 1o ~~ {x}
13		endomtr 4481	. . . . . 6 |- ((1o ~~ {x} /\ {x} ~<_ A) -> 1o ~<_ A)
14	12, 13	mpan 707	. . . . 5 |- ({x} ~<_ A -> 1o ~<_ A)
15	5, 7, 14	3syl 20	. . . 4 |- (x e. A -> 1o ~<_ A)
16	15	19.23aiv 1337	. . 3 |- (E.x x e. A -> 1o ~<_ A)
17	4, 16	sylbi 206	. 2 |- ((/) ~< A -> 1o ~<_ A)
18		df-1o 4191	. . . 4 |- 1o = suc (/)
19	18	breq1i 2681	. . 3 |- (1o ~<_ A <-> suc (/) ~<_ A)
20		peano1 3206	. . . 4 |- (/) e. om
21		sucdomi 4588	. . . 4 |- (((/) e. om /\ A e. V) -> (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A))
22	20, 1, 21	mp2an 709	. . 3 |- (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A)
23	19, 22	sylbi 206	. 2 |- (1o ~<_ A -> (/) ~< A)
24	17, 23	impbii 164	1 |- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   e. wcel 999  E.wex 1021   =/= wne 1632  Vcvv 1858   (_ wss 2098  (/)c0 2331  {csn 2461   class class class wbr 2674  Oncon0 3005  suc csuc 3007  omcom 3188  1oc1o 4186   ~~ cen 4425   ~<_ cdom 4426   ~< csdm 4427

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-1o 4191  df-er 4319  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431

Copyright terms: Public domain