Theorem 0sdom1dom 5618

Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one.

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom1dom.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	|- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom1dom.1	. . . . 5 |- A e. _V
2	1	0sdom 5530	. . . 4 |- ((/) ~< A <-> A =/= (/))
3		n0 2884	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
4	2, 3	bitri 190	. . 3 |- ((/) ~< A <-> E.x x e. A)
5		snssi 3129	. . . . 5 |- (x e. A -> {x} C_ A)
6		ssdom2g 5468	. . . . . 6 |- (A e. _V -> ({x} C_ A -> {x} ~<_ A))
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- ({x} C_ A -> {x} ~<_ A)
8		1on 5182	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
9	8	elisseti 2301	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
10		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
11	10	ensn1 5483	. . . . . . 7 |- {x} ~~ 1o
12	9, 11	ensymi 5472	. . . . . 6 |- 1o ~~ {x}
13		endomtr 5479	. . . . . 6 |- ((1o ~~ {x} /\ {x} ~<_ A) -> 1o ~<_ A)
14	12, 13	mpan 759	. . . . 5 |- ({x} ~<_ A -> 1o ~<_ A)
15	5, 7, 14	3syl 24	. . . 4 |- (x e. A -> 1o ~<_ A)
16	15	19.23aiv 1674	. . 3 |- (E.x x e. A -> 1o ~<_ A)
17	4, 16	sylbi 216	. 2 |- ((/) ~< A -> 1o ~<_ A)
18		df-1o 5177	. . . 4 |- 1o = suc (/)
19	18	breq1i 3345	. . 3 |- (1o ~<_ A <-> suc (/) ~<_ A)
20		peano1 3971	. . . 4 |- (/) e. om
21		sucdomi 5617	. . . 4 |- (((/) e. om /\ A e. _V) -> (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A))
22	20, 1, 21	mp2an 761	. . 3 |- (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A)
23	19, 22	sylbi 216	. 2 |- (1o ~<_ A -> (/) ~< A)
24	17, 23	impbii 174	1 |- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044   class class class wbr 3338  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949  1oc1o 5172   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429

Copyright terms: Public domain