MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0sdom1dom Structured version   Unicode version

Theorem 0sdom1dom 7716
Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
0sdom1dom  |-  ( (/)  ~<  A 
<->  1o  ~<_  A )

Proof of Theorem 0sdom1dom
StepHypRef Expression
1 peano1 6701 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 sucdom 7714 . . 3  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( (/)  ~<  A  <->  suc  (/)  ~<_  A ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( (/)  ~<  A 
<->  suc  (/)  ~<_  A )
4 df-1o 7129 . . 3  |-  1o  =  suc  (/)
54breq1i 4441 . 2  |-  ( 1o  ~<_  A  <->  suc  (/)  ~<_  A )
63, 5bitr4i 252 1  |-  ( (/)  ~<  A 
<->  1o  ~<_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1802   (/)c0 3768   class class class wbr 4434   suc csuc 4867   omcom 6682   1oc1o 7122    ~<_ cdom 7513    ~< csdm 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-br 4435  df-opab 4493  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-om 6683  df-1o 7129  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518
This theorem is referenced by:  sdom1  7718  cdalepw  8576  fin45  8772  gchxpidm  9047  rankcf  9155  snct  27403
  Copyright terms: Public domain W3C validator