Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0rrv Structured version   Unicode version

Theorem 0rrv 28882
Description: The constant function equal to zero is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
0rrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
Assertion
Ref Expression
0rrv  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P )
)
Distinct variable group:    x, P
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem 0rrv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9625 . . . . 5  |-  0  e.  RR
21rgenw 2764 . . . 4  |-  A. x  e.  U. dom  P 0  e.  RR
3 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  =  ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )
43fmpt 6029 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. dom  P
0  e.  RR  <->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR )
52, 4mpbi 208 . . 3  |-  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR
65a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR )
7 fconstmpt 4866 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )
87cnveqi 4997 . . . . . . . . 9  |-  `' ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )
9 cnvxp 5241 . . . . . . . . 9  |-  `' ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  ( { 0 }  X.  U. dom  P )
108, 9eqtr3i 2433 . . . . . . . 8  |-  `' ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )  =  ( { 0 }  X.  U.
dom  P )
1110imaeq1i 5153 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
) " y )
12 df-ima 4835 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P ) "
y )  =  ran  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )
13 df-rn 4833 . . . . . . 7  |-  ran  (
( { 0 }  X.  U. dom  P
)  |`  y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )
1411, 12, 133eqtri 2435 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )
15 df-res 4834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )  =  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
)  i^i  ( y  X.  _V ) )
16 inxp 4955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  i^i  ( y  X.  _V ) )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  ( U. dom  P  i^i  _V ) )
17 inv1 3765 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  i^i  _V )  =  U. dom  P
1817xpeq2i 4843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  ( U. dom  P  i^i  _V ) )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )
1915, 16, 183eqtri 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )
2019cnveqi 4997 . . . . . . 7  |-  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
)  |`  y )  =  `' ( ( { 0 }  i^i  y
)  X.  U. dom  P )
2120dmeqi 5024 . . . . . 6  |-  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  U. dom  P )
22 cnvxp 5241 . . . . . . 7  |-  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )  =  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
2322dmeqi 5024 . . . . . 6  |-  dom  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  U. dom  P
)  =  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
2414, 21, 233eqtri 2435 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
25 xpeq2 4837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  ( U. dom  P  X.  (/) ) )
26 xp0 5242 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  X.  (/) )  =  (/)
2725, 26syl6eq 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
2827dmeqd 5025 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  dom  (/) )
29 dm0 5036 . . . . . . . 8  |-  dom  (/)  =  (/)
3028, 29syl6eq 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
3130adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
32 0rrv.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
33 domprobsiga 28842 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Prob  ->  dom  P  e.  U.
ran sigAlgebra )
34 0elsiga 28548 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
P  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  dom  P )
3532, 33, 343syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  P )
3635adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  (/) 
e.  dom  P )
3731, 36eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  e.  dom  P )
3824, 37syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
39 dmxp 5041 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =/=  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  = 
U. dom  P )
4039adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  U. dom  P
)
4132unveldomd 28846 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. dom  P  e. 
dom  P )
4241adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  U. dom  P  e.  dom  P )
4340, 42eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  e.  dom  P )
4424, 43syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4538, 44pm2.61dane 2721 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4645ralrimivw 2818 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e. 𝔅  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4732isrrvv 28874 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P
)  <->  ( ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR  /\  A. y  e. 𝔅  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
) ) )
486, 46, 47mpbir2and 923 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   _Vcvv 3058    i^i cin 3412   (/)c0 3737   {csn 3971   U.cuni 4190    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   dom cdm 4822   ran crn 4823    |` cres 4824   "cima 4825   -->wf 5564   ` cfv 5568   RRcr 9520   0cc0 9521  sigAlgebracsiga 28541  𝔅cbrsiga 28615  Probcprb 28838  rRndVarcrrv 28871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-ioo 11585  df-topgen 15056  df-top 19689  df-bases 19691  df-esum 28461  df-siga 28542  df-sigagen 28573  df-brsiga 28616  df-meas 28630  df-mbfm 28685  df-prob 28839  df-rrv 28872
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator