Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0rrv Structured version   Unicode version

Theorem 0rrv 28368
Description: The constant function equal to zero is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
0rrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
Assertion
Ref Expression
0rrv  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P )
)
Distinct variable group:    x, P
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem 0rrv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9599 . . . . 5  |-  0  e.  RR
21rgenw 2804 . . . 4  |-  A. x  e.  U. dom  P 0  e.  RR
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  =  ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )
43fmpt 6037 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. dom  P
0  e.  RR  <->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR )
52, 4mpbi 208 . . 3  |-  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR
65a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR )
7 fconstmpt 5033 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )
87cnveqi 5167 . . . . . . . . 9  |-  `' ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )
9 cnvxp 5414 . . . . . . . . 9  |-  `' ( U. dom  P  X.  { 0 } )  =  ( { 0 }  X.  U. dom  P )
108, 9eqtr3i 2474 . . . . . . . 8  |-  `' ( x  e.  U. dom  P 
|->  0 )  =  ( { 0 }  X.  U.
dom  P )
1110imaeq1i 5324 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
) " y )
12 df-ima 5002 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P ) "
y )  =  ran  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )
13 df-rn 5000 . . . . . . 7  |-  ran  (
( { 0 }  X.  U. dom  P
)  |`  y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )
1411, 12, 133eqtri 2476 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )
15 df-res 5001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )  =  ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
)  i^i  ( y  X.  _V ) )
16 inxp 5125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  i^i  ( y  X.  _V ) )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  ( U. dom  P  i^i  _V ) )
17 inv1 3798 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  i^i  _V )  =  U. dom  P
1817xpeq2i 5010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  ( U. dom  P  i^i  _V ) )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )
1915, 16, 183eqtri 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 }  X.  U.
dom  P )  |`  y )  =  ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )
2019cnveqi 5167 . . . . . . 7  |-  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P
)  |`  y )  =  `' ( ( { 0 }  i^i  y
)  X.  U. dom  P )
2120dmeqi 5194 . . . . . 6  |-  dom  `' ( ( { 0 }  X.  U. dom  P )  |`  y )  =  dom  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  U. dom  P )
22 cnvxp 5414 . . . . . . 7  |-  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X. 
U. dom  P )  =  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
2322dmeqi 5194 . . . . . 6  |-  dom  `' ( ( { 0 }  i^i  y )  X.  U. dom  P
)  =  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
2414, 21, 233eqtri 2476 . . . . 5  |-  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) "
y )  =  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )
25 xpeq2 5004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  ( U. dom  P  X.  (/) ) )
26 xp0 5415 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. dom  P  X.  (/) )  =  (/)
2725, 26syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
2827dmeqd 5195 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  dom  (/) )
29 dm0 5206 . . . . . . . 8  |-  dom  (/)  =  (/)
3028, 29syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  (/) )
32 0rrv.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
33 domprobsiga 28328 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Prob  ->  dom  P  e.  U.
ran sigAlgebra )
34 0elsiga 28092 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
P  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  dom  P )
3532, 33, 343syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  P )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  (/) 
e.  dom  P )
3731, 36eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  e.  dom  P )
3824, 37syl5eqel 2535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
39 dmxp 5211 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 }  i^i  y )  =/=  (/)  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  = 
U. dom  P )
4039adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  =  U. dom  P
)
4132unveldomd 28332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. dom  P  e. 
dom  P )
4241adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  U. dom  P  e.  dom  P )
4340, 42eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  dom  ( U. dom  P  X.  ( { 0 }  i^i  y ) )  e.  dom  P )
4424, 43syl5eqel 2535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( {
0 }  i^i  y
)  =/=  (/) )  -> 
( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4538, 44pm2.61dane 2761 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4645ralrimivw 2858 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e. 𝔅  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
)
4732isrrvv 28360 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P
)  <->  ( ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) : U. dom  P --> RR  /\  A. y  e. 𝔅  ( `' ( x  e.  U. dom  P  |->  0 ) " y
)  e.  dom  P
) ) )
486, 46, 47mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. dom  P  |->  0 )  e.  (rRndVar `  P )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095    i^i cin 3460   (/)c0 3770   {csn 4014   U.cuni 4234    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578   RRcr 9494   0cc0 9495  sigAlgebracsiga 28085  𝔅cbrsiga 28130  Probcprb 28324  rRndVarcrrv 28357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-ioo 11544  df-topgen 14823  df-top 19377  df-bases 19379  df-esum 28019  df-siga 28086  df-sigagen 28117  df-brsiga 28131  df-meas 28145  df-mbfm 28200  df-prob 28325  df-rrv 28358
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator