Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0rng Structured version   Unicode version

Theorem 0rng 30918
Description: If a ring has only one element, it is the zero ring. According to Wikipedia ("Zero ring", 14-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_ring): "The zero ring, denoted {0} or simply 0, consists of the one-element set {0} with the operations + and * defined so that 0 + 0 = 0 and 0 * 0 = 0.". (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
0rng.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
0rng.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
0rng  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( # `
 B )  =  1 )  ->  B  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem 0rng
StepHypRef Expression
1 0rng.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 0rng.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31, 2rng0cl 16784 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
4 fvex 5804 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
51, 4eqeltri 2536 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
6 hashen1 12249 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( # `  B )  =  1  <->  B  ~~  1o ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
# `  B )  =  1  <->  B  ~~  1o )
8 en1eqsn 7648 . . . . 5  |-  ( (  .0.  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  {  .0.  } )
98ex 434 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  B  ->  ( B  ~~  1o  ->  B  =  {  .0.  } ) )
107, 9syl5bi 217 . . 3  |-  (  .0. 
e.  B  ->  (
( # `  B )  =  1  ->  B  =  {  .0.  } ) )
113, 10syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (
# `  B )  =  1  ->  B  =  {  .0.  } ) )
1211imp 429 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( # `
 B )  =  1 )  ->  B  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   {csn 3980   class class class wbr 4395   ` cfv 5521   1oc1o 7018    ~~ cen 7412   1c1 9389   #chash 12215   Basecbs 14287   0gc0g 14492   Ringcrg 16763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-hash 12216  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-rng 16765
This theorem is referenced by:  0rng01eq  30919  01eq0rng  30920  lindsrng01  31116
  Copyright terms: Public domain W3C validator