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Theorem 0ram 14921
Description: The Ramsey number when  M  = 
0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0ram  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, F, y    x, V
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem 0ram
Dummy variables  b 
d  z  f  c  s  a  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2428 . . 3  |-  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 0nn0 10835 . . . 4  |-  0  e.  NN0
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  0  e.  NN0 )
4 simpl1 1008 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  R  e.  V )
5 simpl3 1010 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  F : R --> NN0 )
6 frn 5695 . . . . 5  |-  ( F : R --> NN0  ->  ran 
F  C_  NN0 )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ran  F 
C_  NN0 )
8 nn0ssz 10909 . . . . . 6  |-  NN0  C_  ZZ
97, 8syl6ss 3419 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ran  F 
C_  ZZ )
10 fdm 5693 . . . . . . . 8  |-  ( F : R --> NN0  ->  dom 
F  =  R )
115, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  dom  F  =  R )
12 simpl2 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  R  =/=  (/) )
1311, 12eqnetrd 2668 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  dom  F  =/=  (/) )
14 dm0rn0 5013 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  =  (/)  <->  ran  F  =  (/) )
1514necon3bii 2653 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =/=  (/)  <->  ran  F  =/=  (/) )
1613, 15sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ran  F  =/=  (/) )
17 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )
18 suprzcl2 11205 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  C_  ZZ  /\ 
ran  F  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F )
199, 16, 17, 18syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F )
207, 19sseldd 3408 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  NN0 )
21 vex 3025 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
221hashbc0 14900 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  =  { (/)
} )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  =  { (/) }
2423feq2i 5682 . . . . 5  |-  ( f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 ) --> R  <-> 
f : { (/) } --> R )
2524biimpi 197 . . . 4  |-  ( f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 ) --> R  ->  f : { (/)
} --> R )
26 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  f : { (/)
} --> R )
27 0ex 4499 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
2827snid 3969 . . . . . 6  |-  (/)  e.  { (/)
}
29 ffvelrn 5979 . . . . . 6  |-  ( ( f : { (/) } --> R  /\  (/)  e.  { (/)
} )  ->  (
f `  (/) )  e.  R )
3026, 28, 29sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( f `  (/) )  e.  R )
3121pwid 3938 . . . . . 6  |-  s  e. 
~P s
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  s  e.  ~P s )
335adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  F : R --> NN0 )
3433, 30ffvelrnd 5982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e.  NN0 )
3534nn0red 10877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e.  RR )
3635rexrd 9641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e.  RR* )
3720nn0red 10877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3837rexrd 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
3938adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
40 hashxrcl 12489 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  _V  ->  ( # `
 s )  e. 
RR* )
4121, 40mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( # `  s
)  e.  RR* )
429adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ran  F  C_  ZZ )
4317adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )
44 ffn 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( F : R --> NN0  ->  F  Fn  R )
4533, 44syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  F  Fn  R
)
46 fnfvelrn 5978 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  R  /\  ( f `  (/) )  e.  R )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e. 
ran  F )
4745, 30, 46syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e.  ran  F )
48 suprzub 11206 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  F  C_  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  ( F `  ( f `  (/) ) )  e. 
ran  F )  -> 
( F `  (
f `  (/) ) )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
4942, 43, 47, 48syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
50 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( # `  s
) )
5136, 39, 41, 49, 50xrletrd 11410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  s
) )
5228a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  (/)  e.  { (/) } )
53 fvex 5835 . . . . . . . 8  |-  ( f `
 (/) )  e.  _V
5453snid 3969 . . . . . . 7  |-  ( f `
 (/) )  e.  {
( f `  (/) ) }
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( f `  (/) )  e.  { ( f `  (/) ) } )
56 ffn 5689 . . . . . . 7  |-  ( f : { (/) } --> R  -> 
f  Fn  { (/) } )
57 elpreima 5961 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  { (/) }  ->  (
(/)  e.  ( `' f " { ( f `
 (/) ) } )  <-> 
( (/)  e.  { (/) }  /\  ( f `  (/) )  e.  { ( f `  (/) ) } ) ) )
5826, 56, 573syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } )  <->  ( (/)  e.  { (/)
}  /\  ( f `  (/) )  e.  {
( f `  (/) ) } ) ) )
5952, 55, 58mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  (/)  e.  ( `' f " { ( f `  (/) ) } ) )
60 fveq2 5825 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( f `
 (/) ) ) )
6160breq1d 4376 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  <->  ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  z
) ) )
62 vex 3025 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
631hashbc0 14900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  =  { (/)
} )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  =  { (/) }
6564sseq1i 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  { (/) }  C_  ( `' f " {
c } ) )
6627snss 4067 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( `' f " { c } )  <->  { (/) }  C_  ( `' f " {
c } ) )
6765, 66bitr4i 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  (/)  e.  ( `' f " {
c } ) )
68 sneq 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  { c }  =  { (
f `  (/) ) } )
6968imaeq2d 5130 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( `' f " { c } )  =  ( `' f " { ( f `  (/) ) } ) )
7069eleq2d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( (/)  e.  ( `' f " {
c } )  <->  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) ) )
7167, 70syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( (
z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) ) )
7261, 71anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( (
( F `  c
)  <_  ( # `  z
)  /\  ( z
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <-> 
( ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  z
)  /\  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) ) ) )
73 fveq2 5825 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  s
) )
7473breq2d 4378 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
( F `  (
f `  (/) ) )  <_  ( # `  z
)  <->  ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  s
) ) )
7574anbi1d 709 . . . . . 6  |-  ( z  =  s  ->  (
( ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  z
)  /\  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) )  <->  ( ( F `  ( f `  (/) ) )  <_ 
( # `  s )  /\  (/)  e.  ( `' f " { ( f `  (/) ) } ) ) ) )
7672, 75rspc2ev 3136 . . . . 5  |-  ( ( ( f `  (/) )  e.  R  /\  s  e. 
~P s  /\  (
( F `  (
f `  (/) ) )  <_  ( # `  s
)  /\  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
7730, 32, 51, 59, 76syl112anc 1268 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
7825, 77sylanr2 657 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : ( s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 ) --> R ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
791, 3, 4, 5, 20, 78ramub 14913 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
80 fvelrnb 5872 . . . . 5  |-  ( F  Fn  R  ->  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F  <->  E. c  e.  R  ( F `  c )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  ) ) )
815, 44, 803syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F  <->  E. c  e.  R  ( F `  c )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  ) ) )
8219, 81mpbid 213 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  E. c  e.  R  ( F `  c )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
832a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
0  e.  NN0 )
84 simpll1 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  R  e.  V )
85 simpll3 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  F : R --> NN0 )
86 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  c )  e.  NN  ->  (
( F `  c
)  -  1 )  e.  NN0 )
8786ad2antll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  c )  -  1 )  e.  NN0 )
88 vex 3025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
_V
8927, 88f1osn 5812 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. (/)
,  c >. } : { (/) } -1-1-onto-> { c }
90 f1of 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. (/) ,  c >. } : { (/) } -1-1-onto-> { c }  ->  {
<. (/) ,  c >. } : { (/) } --> { c } )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. (/)
,  c >. } : { (/) } --> { c }
92 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
c  e.  R )
9392snssd 4088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  { c }  C_  R )
94 fss 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. (/) ,  c >. } : { (/) } --> { c }  /\  { c }  C_  R )  ->  { <. (/) ,  c >. } : { (/) } --> R )
9591, 93, 94sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  { <. (/) ,  c >. } : { (/) } --> R )
96 ovex 6277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) )  e. 
_V
971hashbc0 14900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) )  e.  _V  ->  (
( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  =  { (/)
} )
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  =  { (/) }
9998feq2i 5682 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. (/) ,  c >. } : ( ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 ) --> R  <->  { <. (/) ,  c >. } : { (/) } --> R )
10095, 99sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  { <. (/) ,  c >. } : ( ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 ) --> R )
10164sseq1i 3431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  <->  { (/) }  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } ) )
10227snss 4067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  <->  { (/) }  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } ) )
103101, 102bitr4i 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  <->  (/)  e.  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } ) )
104 fzfid 12136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) )  e.  Fin )
105 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
z  C_  ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) )
106 ssdomg 7569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  (
z  C_  ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) )  -> 
z  ~<_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) ) )
107104, 105, 106sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
z  ~<_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) )
108 ssfi 7745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) )  e.  Fin  /\  z  C_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) )  -> 
z  e.  Fin )
109104, 105, 108syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
z  e.  Fin )
110 hashdom 12508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  z
)  <_  ( # `  (
1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) )  <-> 
z  ~<_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) ) )
111109, 104, 110syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( # `  z
)  <_  ( # `  (
1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) )  <-> 
z  ~<_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) ) )
112107, 111mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  z )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) ) )
11387adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( F `  c )  -  1 )  e.  NN0 )
114 hashfz1 12479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  c
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) )  =  ( ( F `  c
)  -  1 ) )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) )  =  ( ( F `
 c )  - 
1 ) )
116112, 115breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  z )  <_  ( ( F `
 c )  - 
1 ) )
117 hashcl 12488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
118109, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  z )  e.  NN0 )
1195ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  ( F `  c )  e.  NN0 )
120119adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( F `  c
)  e.  NN0 )
121120adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( F `  c
)  e.  NN0 )
122 nn0ltlem1 10947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  z
)  e.  NN0  /\  ( F `  c )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  z
)  <  ( F `  c )  <->  ( # `  z
)  <_  ( ( F `  c )  -  1 ) ) )
123118, 121, 122syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( # `  z
)  <  ( F `  c )  <->  ( # `  z
)  <_  ( ( F `  c )  -  1 ) ) )
124116, 123mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  z )  <  ( F `  c ) )
12527, 88fvsn 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. (/) ,  c >. } `  (/) )  =  c
126 f1ofn 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( {
<. (/) ,  c >. } : { (/) } -1-1-onto-> { c }  ->  {
<. (/) ,  c >. }  Fn  { (/) } )
127 elpreima 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( {
<. (/) ,  c >. }  Fn  { (/) }  ->  (
(/)  e.  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  <->  ( (/)  e.  { (/)
}  /\  ( { <.
(/) ,  c >. } `
 (/) )  e.  {
d } ) ) )
12889, 126, 127mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  <-> 
( (/)  e.  { (/) }  /\  ( { <. (/)
,  c >. } `  (/) )  e.  { d } ) )
129128simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  ( { <. (/)
,  c >. } `  (/) )  e.  { d } )
130125, 129syl5eqelr 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  c  e.  {
d } )
131 elsni 3966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  { d }  ->  c  =  d )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  c  =  d )
133132fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  d ) )
134133breq2d 4378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  ( ( # `  z )  <  ( F `  c )  <->  (
# `  z )  <  ( F `  d
) ) )
135124, 134syl5ibcom 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( (/)  e.  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  ->  ( # `  z
)  <  ( F `  d ) ) )
136103, 135syl5bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( z ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  ->  ( # `  z
)  <  ( F `  d ) ) )
1371, 83, 84, 85, 87, 100, 136ramlb 14920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  c )  -  1 )  <  ( 0 Ramsey  F ) )
138 ramubcl 14919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  NN0  /\  ( 0 Ramsey  F )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( 0 Ramsey  F )  e.  NN0 )
1393, 4, 5, 20, 79, 138syl32anc 1272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  e.  NN0 )
140139adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( 0 Ramsey  F )  e.  NN0 )
141 nn0lem1lt 10952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  c
)  e.  NN0  /\  ( 0 Ramsey  F )  e. 
NN0 )  ->  (
( F `  c
)  <_  ( 0 Ramsey  F )  <->  ( ( F `  c )  -  1 )  < 
( 0 Ramsey  F ) ) )
142120, 140, 141syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  c )  <_  (
0 Ramsey  F )  <->  ( ( F `  c )  -  1 )  < 
( 0 Ramsey  F ) ) )
143137, 142mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( F `  c
)  <_  ( 0 Ramsey  F ) )
144143expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
( F `  c
)  e.  NN  ->  ( F `  c )  <_  ( 0 Ramsey  F
) ) )
145139adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
0 Ramsey  F )  e.  NN0 )
146145nn0ge0d 10879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  0  <_  ( 0 Ramsey  F ) )
147 breq1 4369 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  c )  =  0  ->  (
( F `  c
)  <_  ( 0 Ramsey  F )  <->  0  <_  ( 0 Ramsey  F ) ) )
148146, 147syl5ibrcom 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
( F `  c
)  =  0  -> 
( F `  c
)  <_  ( 0 Ramsey  F ) ) )
149 elnn0 10822 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  c )  e.  NN0  <->  ( ( F `
 c )  e.  NN  \/  ( F `
 c )  =  0 ) )
150119, 149sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
( F `  c
)  e.  NN  \/  ( F `  c )  =  0 ) )
151144, 148, 150mpjaod 382 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  ( F `  c )  <_  ( 0 Ramsey  F ) )
152 breq1 4369 . . . . 5  |-  ( ( F `  c )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  ->  ( ( F `  c )  <_  ( 0 Ramsey  F )  <->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( 0 Ramsey  F ) ) )
153151, 152syl5ibcom 223 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
( F `  c
)  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( 0 Ramsey  F ) ) )
154153rexlimdva 2856 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ( E. c  e.  R  ( F `  c )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( 0 Ramsey  F ) ) )
15582, 154mpd 15 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  (
0 Ramsey  F ) )
156139nn0red 10877 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  e.  RR )
157156, 37letri3d 9728 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
( 0 Ramsey  F )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  <->  ( ( 0 Ramsey  F )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  (
0 Ramsey  F ) ) ) )
15879, 155, 157mpbir2and 930 1  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   {csn 3941   <.cop 3947   class class class wbr 4366   `'ccnv 4795   dom cdm 4796   ran crn 4797   "cima 4799    Fn wfn 5539   -->wf 5540   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    |-> cmpt2 6251    ~<_ cdom 7522   Fincfn 7524   supcsup 7907   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811   NNcn 10560   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   ...cfz 11735   #chash 12465   Ramsey cram 14892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-hash 12466  df-ram 14895
This theorem is referenced by:  0ram2  14922  ramz  14926
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