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Theorem 0ram 14093
Description: The Ramsey number when  M  = 
0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0ram  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, F, y    x, V
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem 0ram
Dummy variables  b 
d  z  f  c  s  a  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 0nn0 10606 . . . 4  |-  0  e.  NN0
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  0  e.  NN0 )
4 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  R  e.  V )
5 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  F : R --> NN0 )
6 frn 5577 . . . . 5  |-  ( F : R --> NN0  ->  ran 
F  C_  NN0 )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ran  F 
C_  NN0 )
8 nn0ssz 10679 . . . . . 6  |-  NN0  C_  ZZ
97, 8syl6ss 3380 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ran  F 
C_  ZZ )
10 fdm 5575 . . . . . . . 8  |-  ( F : R --> NN0  ->  dom 
F  =  R )
115, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  dom  F  =  R )
12 simpl2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  R  =/=  (/) )
1311, 12eqnetrd 2638 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  dom  F  =/=  (/) )
14 dm0rn0 5068 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  =  (/)  <->  ran  F  =  (/) )
1514necon3bii 2652 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =/=  (/)  <->  ran  F  =/=  (/) )
1613, 15sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ran  F  =/=  (/) )
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )
18 suprzcl2 10957 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  C_  ZZ  /\ 
ran  F  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F )
199, 16, 17, 18syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  ran  F )
207, 19sseldd 3369 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  NN0 )
21 vex 2987 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
221hashbc0 14078 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  =  { (/)
} )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  =  { (/) }
2423feq2i 5564 . . . . 5  |-  ( f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 ) --> R  <-> 
f : { (/) } --> R )
2524biimpi 194 . . . 4  |-  ( f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 ) --> R  ->  f : { (/)
} --> R )
26 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  f : { (/)
} --> R )
27 0ex 4434 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
2827snid 3917 . . . . . 6  |-  (/)  e.  { (/)
}
29 ffvelrn 5853 . . . . . 6  |-  ( ( f : { (/) } --> R  /\  (/)  e.  { (/)
} )  ->  (
f `  (/) )  e.  R )
3026, 28, 29sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( f `  (/) )  e.  R )
3121pwid 3886 . . . . . 6  |-  s  e. 
~P s
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  s  e.  ~P s )
335adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  F : R --> NN0 )
3433, 30ffvelrnd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e.  NN0 )
3534nn0red 10649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e.  RR )
3635rexrd 9445 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e.  RR* )
3720nn0red 10649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3837rexrd 9445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
40 hashxrcl 12139 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  _V  ->  ( # `
 s )  e. 
RR* )
4121, 40mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( # `  s
)  e.  RR* )
429adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ran  F  C_  ZZ )
4317adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )
44 ffn 5571 . . . . . . . . 9  |-  ( F : R --> NN0  ->  F  Fn  R )
4533, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  F  Fn  R
)
46 fnfvelrn 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  R  /\  ( f `  (/) )  e.  R )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e. 
ran  F )
4745, 30, 46syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  e.  ran  F )
48 suprzub 10958 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  F  C_  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  ( F `  ( f `  (/) ) )  e. 
ran  F )  -> 
( F `  (
f `  (/) ) )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
4942, 43, 47, 48syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
50 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( # `  s
) )
5136, 39, 41, 49, 50xrletrd 11148 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  s
) )
5228a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  (/)  e.  { (/) } )
53 fvex 5713 . . . . . . . 8  |-  ( f `
 (/) )  e.  _V
5453snid 3917 . . . . . . 7  |-  ( f `
 (/) )  e.  {
( f `  (/) ) }
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( f `  (/) )  e.  { ( f `  (/) ) } )
56 ffn 5571 . . . . . . 7  |-  ( f : { (/) } --> R  -> 
f  Fn  { (/) } )
57 elpreima 5835 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  { (/) }  ->  (
(/)  e.  ( `' f " { ( f `
 (/) ) } )  <-> 
( (/)  e.  { (/) }  /\  ( f `  (/) )  e.  { ( f `  (/) ) } ) ) )
5826, 56, 573syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  ( (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } )  <->  ( (/)  e.  { (/)
}  /\  ( f `  (/) )  e.  {
( f `  (/) ) } ) ) )
5952, 55, 58mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  (/)  e.  ( `' f " { ( f `  (/) ) } ) )
60 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( f `
 (/) ) ) )
6160breq1d 4314 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  <->  ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  z
) ) )
62 vex 2987 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
631hashbc0 14078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  =  { (/)
} )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( z ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  =  { (/) }
6564sseq1i 3392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  { (/) }  C_  ( `' f " {
c } ) )
6627snss 4011 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( `' f " { c } )  <->  { (/) }  C_  ( `' f " {
c } ) )
6765, 66bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  (/)  e.  ( `' f " {
c } ) )
68 sneq 3899 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  { c }  =  { (
f `  (/) ) } )
6968imaeq2d 5181 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( `' f " { c } )  =  ( `' f " { ( f `  (/) ) } ) )
7069eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( (/)  e.  ( `' f " {
c } )  <->  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) ) )
7167, 70syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( (
z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) ) )
7261, 71anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( f `  (/) )  ->  ( (
( F `  c
)  <_  ( # `  z
)  /\  ( z
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <-> 
( ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  z
)  /\  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) ) ) )
73 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  s
) )
7473breq2d 4316 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
( F `  (
f `  (/) ) )  <_  ( # `  z
)  <->  ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  s
) ) )
7574anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( z  =  s  ->  (
( ( F `  ( f `  (/) ) )  <_  ( # `  z
)  /\  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) )  <->  ( ( F `  ( f `  (/) ) )  <_ 
( # `  s )  /\  (/)  e.  ( `' f " { ( f `  (/) ) } ) ) ) )
7672, 75rspc2ev 3093 . . . . 5  |-  ( ( ( f `  (/) )  e.  R  /\  s  e. 
~P s  /\  (
( F `  (
f `  (/) ) )  <_  ( # `  s
)  /\  (/)  e.  ( `' f " {
( f `  (/) ) } ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
7730, 32, 51, 59, 76syl112anc 1222 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : { (/)
} --> R ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
7825, 77sylanr2 653 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( # `  s )  /\  f : ( s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 ) --> R ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
791, 3, 4, 5, 20, 78ramub 14086 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
80 fvelrnb 5751 . . . . 5  |-  ( F  Fn  R  ->  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F  <->  E. c  e.  R  ( F `  c )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  ) ) )
815, 44, 803syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ( sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e. 
ran  F  <->  E. c  e.  R  ( F `  c )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  ) ) )
8219, 81mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  E. c  e.  R  ( F `  c )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
832a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
0  e.  NN0 )
84 simpll1 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  R  e.  V )
85 simpll3 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  F : R --> NN0 )
86 nnm1nn0 10633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  c )  e.  NN  ->  (
( F `  c
)  -  1 )  e.  NN0 )
8786ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  c )  -  1 )  e.  NN0 )
88 vex 2987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
_V
8927, 88f1osn 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. (/)
,  c >. } : { (/) } -1-1-onto-> { c }
90 f1of 5653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. (/) ,  c >. } : { (/) } -1-1-onto-> { c }  ->  {
<. (/) ,  c >. } : { (/) } --> { c } )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. (/)
,  c >. } : { (/) } --> { c }
92 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
c  e.  R )
9392snssd 4030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  { c }  C_  R )
94 fss 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { <. (/) ,  c >. } : { (/) } --> { c }  /\  { c }  C_  R )  ->  { <. (/) ,  c >. } : { (/) } --> R )
9591, 93, 94sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  { <. (/) ,  c >. } : { (/) } --> R )
96 ovex 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) )  e. 
_V
971hashbc0 14078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) )  e.  _V  ->  (
( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  =  { (/)
} )
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  =  { (/) }
9998feq2i 5564 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. (/) ,  c >. } : ( ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 ) --> R  <->  { <. (/) ,  c >. } : { (/) } --> R )
10095, 99sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  ->  { <. (/) ,  c >. } : ( ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 ) --> R )
10164sseq1i 3392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  <->  { (/) }  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } ) )
10227snss 4011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  <->  { (/) }  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } ) )
103101, 102bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) 0 )  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  <->  (/)  e.  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } ) )
104 fzfid 11807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) )  e.  Fin )
105 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
z  C_  ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) )
106 ssdomg 7367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  (
z  C_  ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) )  -> 
z  ~<_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) ) )
107104, 105, 106sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
z  ~<_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) )
108 ssfi 7545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) )  e.  Fin  /\  z  C_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) )  -> 
z  e.  Fin )
109104, 105, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
z  e.  Fin )
110 hashdom 12154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  z
)  <_  ( # `  (
1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) )  <-> 
z  ~<_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) ) )
111109, 104, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( # `  z
)  <_  ( # `  (
1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) )  <-> 
z  ~<_  ( 1 ... ( ( F `  c )  -  1 ) ) ) )
112107, 111mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  z )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) ) )
11387adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( F `  c )  -  1 )  e.  NN0 )
114 hashfz1 12129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  c
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) )  =  ( ( F `  c
)  -  1 ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  ( 1 ... ( ( F `
 c )  - 
1 ) ) )  =  ( ( F `
 c )  - 
1 ) )
116112, 115breqtrd 4328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  z )  <_  ( ( F `
 c )  - 
1 ) )
117 hashcl 12138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
118109, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  z )  e.  NN0 )
1195ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  ( F `  c )  e.  NN0 )
120119adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( F `  c
)  e.  NN0 )
121120adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( F `  c
)  e.  NN0 )
122 nn0ltlem1 10716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  z
)  e.  NN0  /\  ( F `  c )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  z
)  <  ( F `  c )  <->  ( # `  z
)  <_  ( ( F `  c )  -  1 ) ) )
123118, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( # `  z
)  <  ( F `  c )  <->  ( # `  z
)  <_  ( ( F `  c )  -  1 ) ) )
124116, 123mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( # `  z )  <  ( F `  c ) )
12527, 88fvsn 5923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. (/) ,  c >. } `  (/) )  =  c
126 f1ofn 5654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( {
<. (/) ,  c >. } : { (/) } -1-1-onto-> { c }  ->  {
<. (/) ,  c >. }  Fn  { (/) } )
127 elpreima 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( {
<. (/) ,  c >. }  Fn  { (/) }  ->  (
(/)  e.  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  <->  ( (/)  e.  { (/)
}  /\  ( { <.
(/) ,  c >. } `
 (/) )  e.  {
d } ) ) )
12889, 126, 127mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  <-> 
( (/)  e.  { (/) }  /\  ( { <. (/)
,  c >. } `  (/) )  e.  { d } ) )
129128simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  ( { <. (/)
,  c >. } `  (/) )  e.  { d } )
130125, 129syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  c  e.  {
d } )
131 elsni 3914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  { d }  ->  c  =  d )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  c  =  d )
133132fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  d ) )
134133breq2d 4316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ( `' { <. (/)
,  c >. } " { d } )  ->  ( ( # `  z )  <  ( F `  c )  <->  (
# `  z )  <  ( F `  d
) ) )
135124, 134syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( (/)  e.  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  ->  ( # `  z
)  <  ( F `  d ) ) )
136103, 135syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R
--> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  /\  (
c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  /\  ( d  e.  R  /\  z  C_  ( 1 ... (
( F `  c
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( z ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) 0 )  C_  ( `' { <. (/) ,  c >. } " { d } )  ->  ( # `  z
)  <  ( F `  d ) ) )
1371, 83, 84, 85, 87, 100, 136ramlb 14092 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  c )  -  1 )  <  ( 0 Ramsey  F ) )
138 ramubcl 14091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  e.  NN0  /\  ( 0 Ramsey  F )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( 0 Ramsey  F )  e.  NN0 )
1393, 4, 5, 20, 79, 138syl32anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  e.  NN0 )
140139adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( 0 Ramsey  F )  e.  NN0 )
141 nn0lem1lt 10719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  c
)  e.  NN0  /\  ( 0 Ramsey  F )  e. 
NN0 )  ->  (
( F `  c
)  <_  ( 0 Ramsey  F )  <->  ( ( F `  c )  -  1 )  < 
( 0 Ramsey  F ) ) )
142120, 140, 141syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  c )  <_  (
0 Ramsey  F )  <->  ( ( F `  c )  -  1 )  < 
( 0 Ramsey  F ) ) )
143137, 142mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  ( c  e.  R  /\  ( F `  c )  e.  NN ) )  -> 
( F `  c
)  <_  ( 0 Ramsey  F ) )
144143expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
( F `  c
)  e.  NN  ->  ( F `  c )  <_  ( 0 Ramsey  F
) ) )
145139adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
0 Ramsey  F )  e.  NN0 )
146145nn0ge0d 10651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  0  <_  ( 0 Ramsey  F ) )
147 breq1 4307 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  c )  =  0  ->  (
( F `  c
)  <_  ( 0 Ramsey  F )  <->  0  <_  ( 0 Ramsey  F ) ) )
148146, 147syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
( F `  c
)  =  0  -> 
( F `  c
)  <_  ( 0 Ramsey  F ) ) )
149 elnn0 10593 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  c )  e.  NN0  <->  ( ( F `
 c )  e.  NN  \/  ( F `
 c )  =  0 ) )
150119, 149sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
( F `  c
)  e.  NN  \/  ( F `  c )  =  0 ) )
151144, 148, 150mpjaod 381 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  ( F `  c )  <_  ( 0 Ramsey  F ) )
152 breq1 4307 . . . . 5  |-  ( ( F `  c )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  ->  ( ( F `  c )  <_  ( 0 Ramsey  F )  <->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_ 
( 0 Ramsey  F ) ) )
153151, 152syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e. 
ran  F  y  <_  x )  /\  c  e.  R )  ->  (
( F `  c
)  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( 0 Ramsey  F ) ) )
154153rexlimdva 2853 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  ( E. c  e.  R  ( F `  c )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  ( 0 Ramsey  F ) ) )
15582, 154mpd 15 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  (
0 Ramsey  F ) )
156139nn0red 10649 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  e.  RR )
157156, 37letri3d 9528 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
( 0 Ramsey  F )  =  sup ( ran 
F ,  RR ,  <  )  <->  ( ( 0 Ramsey  F )  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  <_  (
0 Ramsey  F ) ) ) )
15879, 155, 157mpbir2and 913 1  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  R  =/=  (/)  /\  F : R --> NN0 )  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  ran  F  y  <_  x )  ->  (
0 Ramsey  F )  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   {crab 2731   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   (/)c0 3649   ~Pcpw 3872   {csn 3889   <.cop 3895   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   ran crn 4853   "cima 4855    Fn wfn 5425   -->wf 5426   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    e. cmpt2 6105    ~<_ cdom 7320   Fincfn 7322   supcsup 7702   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607   NNcn 10334   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ...cfz 11449   #chash 12115   Ramsey cram 14072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-hash 12116  df-ram 14074
This theorem is referenced by:  0ram2  14094  ramz  14098
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