MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0r Structured version   Unicode version

Theorem 0r 9460
Description: The constant  0R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0r  |-  0R  e.  R.

Proof of Theorem 0r
StepHypRef Expression
1 1pr 9396 . . . 4  |-  1P  e.  P.
2 opelxpi 5021 . . . 4  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  <. 1P ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
31, 1, 2mp2an 672 . . 3  |-  <. 1P ,  1P >.  e.  ( P. 
X.  P. )
4 enrex 9447 . . . 4  |-  ~R  e.  _V
54ecelqsi 7369 . . 3  |-  ( <. 1P ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
63, 5ax-mp 5 . 2  |-  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
7 df-0r 9441 . 2  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
8 df-nr 9437 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
96, 7, 83eltr4i 2544 1  |-  0R  e.  R.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804   <.cop 4020    X. cxp 4987   [cec 7311   /.cqs 7312   P.cnp 9240   1Pc1p 9241    ~R cer 9245   R.cnr 9246   0Rc0r 9247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-ni 9253  df-pli 9254  df-mi 9255  df-lti 9256  df-plpq 9289  df-mpq 9290  df-ltpq 9291  df-enq 9292  df-nq 9293  df-erq 9294  df-plq 9295  df-mq 9296  df-1nq 9297  df-rq 9298  df-ltnq 9299  df-np 9362  df-1p 9363  df-enr 9436  df-nr 9437  df-0r 9441
This theorem is referenced by:  sqgt0sr  9486  opelreal  9510  elreal  9511  elreal2  9512  eqresr  9517  addresr  9518  mulresr  9519  axresscn  9528  axicn  9530  axi2m1  9539  axcnre  9544
  Copyright terms: Public domain W3C validator