MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0r Structured version   Unicode version

Theorem 0r 9446
Description: The constant  0R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0r  |-  0R  e.  R.

Proof of Theorem 0r
StepHypRef Expression
1 1pr 9382 . . . 4  |-  1P  e.  P.
2 opelxpi 5020 . . . 4  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  <. 1P ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
31, 1, 2mp2an 670 . . 3  |-  <. 1P ,  1P >.  e.  ( P. 
X.  P. )
4 enrex 9433 . . . 4  |-  ~R  e.  _V
54ecelqsi 7359 . . 3  |-  ( <. 1P ,  1P >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
63, 5ax-mp 5 . 2  |-  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
7 df-0r 9427 . 2  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
8 df-nr 9423 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
96, 7, 83eltr4i 2555 1  |-  0R  e.  R.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1823   <.cop 4022    X. cxp 4986   [cec 7301   /.cqs 7302   P.cnp 9226   1Pc1p 9227    ~R cer 9231   R.cnr 9232   0Rc0r 9233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-ni 9239  df-pli 9240  df-mi 9241  df-lti 9242  df-plpq 9275  df-mpq 9276  df-ltpq 9277  df-enq 9278  df-nq 9279  df-erq 9280  df-plq 9281  df-mq 9282  df-1nq 9283  df-rq 9284  df-ltnq 9285  df-np 9348  df-1p 9349  df-enr 9422  df-nr 9423  df-0r 9427
This theorem is referenced by:  sqgt0sr  9472  opelreal  9496  elreal  9497  elreal2  9498  eqresr  9503  addresr  9504  mulresr  9505  axresscn  9514  axicn  9516  axi2m1  9525  axcnre  9530
  Copyright terms: Public domain W3C validator