Theorem 0r 5254

Description: The constant 0R is a signed real.

Assertion

Ref	Expression
0r	|- 0R e. R.

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 5182	. . . 4 |- 1P e. P.
2		opelxpi 3274	. . . 4 |- ((1P e. P. /\ 1P e. P.) -> <.1P, 1P>. e. (P. X. P.))
3	1, 1, 2	mp2an 709	. . 3 |- <.1P, 1P>. e. (P. X. P.)
4		enrex 5243	. . . 4 |- ~R e. V
5	4	ecelqsi 4352	. . 3 |- (<.1P, 1P>. e. (P. X. P.) -> [<.1P, 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
6	3, 5	ax-mp 7	. 2 |- [<.1P, 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R )
7		df-0r 5236	. . 3 |- 0R = [<.1P, 1P>.] ~R
8		df-nr 5232	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
9	7, 8	eleq12i 1586	. 2 |- (0R e. R. <-> [<.1P, 1P>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
10	6, 9	mpbir 197	1 |- 0R e. R.

Syntax hints:   e. wcel 999  <.cop 2463   X. cxp 3225  [cec 4317  /.cqs 4318  P.cnp 5050  1Pc1p 5051   ~R cer 5057  R.cnr 5058  0Rc0r 5059

This theorem is referenced by:  addgt0sr 5278  sqgt0sr 5280  ssgt0sr 5282  suppsr2 5288  suppsr3 5289  supsrlem2 5291  supsr 5296  opelreal 5314  elreal 5315  eqresr 5320  addresr 5321  mulresr 5322  axresscn 5333  axicn 5335  ax0id 5346  ax1id 5347  axi2m1 5350  axcnre 5351  pre-axmulgt0 5355

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-enr 5231  df-nr 5232  df-0r 5236

Copyright terms: Public domain