Theorem 0oo 9789

Description: The zero operator is an operator.

Hypotheses

Ref	Expression
0oo.1	|- X = (BaseSet` U)
0oo.2	|- Y = (BaseSet` W)
0oo.0	|- Z = (U 0op W)

Assertion

Ref	Expression
0oo	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:X-->Y)

Proof of Theorem 0oo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0oo.2	. . . . 5 |- Y = (BaseSet` W)
2		eqid 1884	. . . . 5 |- (0v` W) = (0v` W)
3	1, 2	nvzcl 9587	. . . 4 |- (W e. NrmCVec -> (0v` W) e. Y)
4		snssi 3129	. . . 4 |- ((0v` W) e. Y -> {(0v` W)} C_ Y)
5		fvex 4689	. . . . . 6 |- (0v` W) e. _V
6	5	fconst 4602	. . . . 5 |- (X X. {(0v` W)}):X-->{(0v` W)}
7		fss 4571	. . . . 5 |- (((X X. {(0v` W)}):X-->{(0v` W)} /\ {(0v` W)} C_ Y) -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
8	6, 7	mpan 759	. . . 4 |- ({(0v` W)} C_ Y -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
9	3, 4, 8	3syl 24	. . 3 |- (W e. NrmCVec -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
10	9	adantl 424	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
11		0oo.1	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
12		0oo.0	. . . 4 |- Z = (U 0op W)
13	11, 2, 12	0ofval 9787	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z = (X X. {(0v` W)}))
14	13	feq1d 4556	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (Z:X-->Y <-> (X X. {(0v` W)}):X-->Y))
15	10, 14	mpbird 213	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:X-->Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  {csn 3044   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  0vcn0v 9539   0op c0o 9743

This theorem is referenced by:  0lno 9790  nmo0 9791  nmlno0lem 9793

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-grp 9316  df-gid 9317  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-0o 9747

Copyright terms: Public domain