MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nsr Structured version   Unicode version

Theorem 0nsr 9457
Description: The empty set is not a signed real. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0nsr  |-  -.  (/)  e.  R.

Proof of Theorem 0nsr
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2  |-  (/)  =  (/)
2 enrer 9443 . . . . . 6  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
3 erdm 7322 . . . . . 6  |-  (  ~R  Er  ( P.  X.  P. )  ->  dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )
)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )
5 elqsn0 7381 . . . . 5  |-  ( ( dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )  /\  (/)  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )  ->  (/) 
=/=  (/) )
64, 5mpan 670 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  -> 
(/)  =/=  (/) )
7 df-nr 9435 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
86, 7eleq2s 2575 . . 3  |-  ( (/)  e.  R.  ->  (/)  =/=  (/) )
98necon2bi 2704 . 2  |-  ( (/)  =  (/)  ->  -.  (/)  e.  R. )
101, 9ax-mp 5 1  |-  -.  (/)  e.  R.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3785    X. cxp 4997   dom cdm 4999    Er wer 7309   /.cqs 7311   P.cnp 9238    ~R cer 9243   R.cnr 9244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-ni 9251  df-pli 9252  df-mi 9253  df-lti 9254  df-plpq 9287  df-mpq 9288  df-ltpq 9289  df-enq 9290  df-nq 9291  df-erq 9292  df-plq 9293  df-mq 9294  df-1nq 9295  df-rq 9296  df-ltnq 9297  df-np 9360  df-plp 9362  df-ltp 9364  df-enr 9434  df-nr 9435
This theorem is referenced by:  dmaddsr  9463  dmmulsr  9464  addasssr  9466  mulasssr  9468  distrsr  9469  ltasr  9478
  Copyright terms: Public domain W3C validator