MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nsg Structured version   Unicode version

Theorem 0nsg 16373
Description: The zero subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
0nsg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
0nsg  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (NrmSGrp `  G
) )

Proof of Theorem 0nsg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nsg.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
210subg 16353 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
3 elsni 4057 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  {  .0.  }  ->  y  =  .0.  )
43ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  {  .0.  } ) )  ->  y  =  .0.  )
54oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  {  .0.  } ) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  G )  .0.  )
)
6 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
7 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
86, 7, 1grprid 16208 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( x ( +g  `  G )  .0.  )  =  x )
98adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  {  .0.  } ) )  ->  (
x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x )
105, 9eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  {  .0.  } ) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  x )
1110oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  {  .0.  } ) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  =  ( x ( -g `  G ) x ) )
12 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
136, 1, 12grpsubid 16249 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( x ( -g `  G ) x )  =  .0.  )
1413adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  {  .0.  } ) )  ->  (
x ( -g `  G
) x )  =  .0.  )
1511, 14eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  {  .0.  } ) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  =  .0.  )
16 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  _V
1716elsnc 4056 . . . 4  |-  ( ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e. 
{  .0.  }  <->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  =  .0.  )
1815, 17sylibr 212 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  {  .0.  } ) )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e. 
{  .0.  } )
1918ralrimivva 2878 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e. 
{  .0.  }  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e. 
{  .0.  } )
206, 7, 12isnsg3 16362 . 2  |-  ( {  .0.  }  e.  (NrmSGrp `  G )  <->  ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  {  .0.  }  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e. 
{  .0.  } ) )
212, 19, 20sylanbrc 664 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (NrmSGrp `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182  SubGrpcsubg 16322  NrmSGrpcnsg 16323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-nsg 16326
This theorem is referenced by:  ghmker  16419
  Copyright terms: Public domain W3C validator