MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nmhm Structured version   Unicode version

Theorem 0nmhm 21239
Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0nmhm.1  |-  V  =  ( Base `  S
)
0nmhm.2  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
0nmhm.f  |-  F  =  (Scalar `  S )
0nmhm.g  |-  G  =  (Scalar `  T )
Assertion
Ref Expression
0nmhm  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom  T
) )

Proof of Theorem 0nmhm
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 21164 . . 3  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
2 nlmlmod 21164 . . 3  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
3 id 22 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  F  =  G )
4 0nmhm.2 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
5 0nmhm.1 . . . 4  |-  V  =  ( Base `  S
)
6 0nmhm.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  S )
7 0nmhm.g . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  T )
84, 5, 6, 70lmhm 17664 . . 3  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod  /\  F  =  G )  ->  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T ) )
91, 2, 3, 8syl3an 1271 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S LMHom  T
) )
10 nlmngp 21163 . . . 4  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
11 nlmngp 21163 . . . 4  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
125, 40nghm 21225 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
1310, 11, 12syl2an 477 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
14133adant3 1017 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
15 isnmhm 21230 . . . 4  |-  ( ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  /\  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
1615baib 903 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
17163adant3 1017 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
189, 14, 17mpbir2and 922 1  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom  T
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   {csn 4014    X. cxp 4987   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613  Scalarcsca 14681   0gc0g 14818   LModclmod 17490   LMHom clmhm 17643  NrmGrpcngp 21075  NrmModcnlm 21078   NGHom cnghm 21190   NMHom cnmhm 21191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ico 11545  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-topgen 14822  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-grp 16035  df-ghm 16243  df-mgp 17120  df-ring 17178  df-lmod 17492  df-lmhm 17646  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-xms 20800  df-ms 20801  df-nm 21080  df-ngp 21081  df-nlm 21084  df-nmo 21192  df-nghm 21193  df-nmhm 21194
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator