Theorem 0ngrp 9335

Description: The empty set is not a group.

Assertion

Ref	Expression
0ngrp	|- -. (/) e. Grp

Proof of Theorem 0ngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . 3 |- (/) = (/)
2		nne 2021	. . 3 |- (-. (/) =/= (/) <-> (/) = (/))
3	1, 2	mpbir 207	. 2 |- -. (/) =/= (/)
4		rn0 4203	. . . 4 |- ran (/) = (/)
5	4	eqcomi 1888	. . 3 |- (/) = ran (/)
6	5	grpn0 9326	. 2 |- ((/) e. Grp -> (/) =/= (/))
7	3, 6	mto 121	1 |- -. (/) e. Grp

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  ran crn 3987  Grpcgr 9311

This theorem is referenced by:  vsfval 9586  zrdivrng 10418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-grp 9316

Copyright terms: Public domain