MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0neqopab Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 0neqopab 6332
Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
0neqopab  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }

Proof of Theorem 0neqopab
StepHypRef Expression
1 elopab 4708 . . 3  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
2 nfopab1 4468 . . . . . 6  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
32nfel2 2607 . . . . 5  |-  F/ x (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
43nfn 1982 . . . 4  |-  F/ x  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
5 nfopab2 4469 . . . . . . 7  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
65nfel2 2607 . . . . . 6  |-  F/ y
(/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
76nfn 1982 . . . . 5  |-  F/ y  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
8 vex 3047 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
9 vex 3047 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
108, 9opnzi 4673 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  =/=  (/)
11 nesym 2679 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  <. x ,  y >. )
12 pm2.21 112 . . . . . . . 8  |-  ( -.  (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1311, 12sylbi 199 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1410, 13ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
1514adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
167, 15exlimi 1994 . . . 4  |-  ( E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
174, 16exlimi 1994 . . 3  |-  ( E. x E. y (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
181, 17sylbi 199 . 2  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
19 id 22 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
2018, 19pm2.61i 168 1  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   (/)c0 3730   <.cop 3973   {copab 4459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-v 3046  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-opab 4461
This theorem is referenced by:  brabv  6333  bj-0nelmpt  31621
  Copyright terms: Public domain W3C validator