Theorem 0nelxp 4066

Description: The empty set is not a member of a cross product.

Assertion

Ref	Expression
0nelxp	|- -. (/) e. (A X. B)

Proof of Theorem 0nelxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 2879	. . . . . 6 |- -. {x} e. (/)
2		opi1 3529	. . . . . . 7 |- {x} e. <.x, y>.
3		eleq2 1958	. . . . . . 7 |- ((/) = <.x, y>. -> ({x} e. (/) <-> {x} e. <.x, y>.))
4	2, 3	mpbiri 211	. . . . . 6 |- ((/) = <.x, y>. -> {x} e. (/))
5	1, 4	mto 121	. . . . 5 |- -. (/) = <.x, y>.
6	5	intnanr 756	. . . 4 |- -. ((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
7	6	nex 1456	. . 3 |- -. E.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
8	7	nex 1456	. 2 |- -. E.xE.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
9		elxp 4018	. 2 |- ((/) e. (A X. B) <-> E.xE.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)))
10	8, 9	mtbir 209	1 |- -. (/) e. (A X. B)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  (/)c0 2875  {csn 3044  <.cop 3046   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  onxpdisj 4068  onxpdisjOLD 4069  dmsn0 4365  nfunv 4453  funopg 4454  0ncn 6403  vxveqv 14357

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain