Theorem 0nelxp 3297

Description: The empty set is not a member of a cross product.

Assertion

Ref	Expression
0nelxp	|- -. (/) e. (A X. B)

Proof of Theorem 0nelxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 2335	. . . . . 6 |- -. {x} e. (/)
2		opi1 2840	. . . . . . 7 |- {x} e. <.x, y>.
3		eleq2 1582	. . . . . . 7 |- ((/) = <.x, y>. -> ({x} e. (/) <-> {x} e. <.x, y>.))
4	2, 3	mpbiri 201	. . . . . 6 |- ((/) = <.x, y>. -> {x} e. (/))
5	1, 4	mto 112	. . . . 5 |- -. (/) = <.x, y>.
6	5	intnanr 704	. . . 4 |- -. ((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
7	6	nex 1142	. . 3 |- -. E.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
8	7	nex 1142	. 2 |- -. E.xE.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B))
9		elxp 3259	. 2 |- ((/) e. (A X. B) <-> E.xE.y((/) = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)))
10	8, 9	mtbir 199	1 |- -. (/) e. (A X. B)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  (/)c0 2331  {csn 2461  <.cop 2463   X. cxp 3225

This theorem is referenced by:  onxpdisj 3298  nfunv 3603  funopg 3604  0ncn 5316  vxveqv 10558

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-opab 2722  df-xp 3241

Copyright terms: Public domain