MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nelfz1 Structured version   Unicode version

Theorem 0nelfz1 11812
Description: 0 is not an element of a finite interval of integers starting at 1. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
0nelfz1  |-  0  e/  ( 1 ... N
)

Proof of Theorem 0nelfz1
StepHypRef Expression
1 0lt1 10132 . . . . 5  |-  0  <  1
2 0re 9639 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3 1re 9638 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
42, 3ltnlei 9751 . . . . 5  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
51, 4mpbi 211 . . . 4  |-  -.  1  <_  0
65intnanr 923 . . 3  |-  -.  (
1  <_  0  /\  0  <_  N )
76intnan 922 . 2  |-  -.  (
( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  0  /\  0  <_  N ) )
8 df-nel 2619 . . 3  |-  ( 0  e/  ( 1 ... N )  <->  -.  0  e.  ( 1 ... N
) )
9 elfz2 11785 . . 3  |-  ( 0  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
108, 9xchbinx 311 . 2  |-  ( 0  e/  ( 1 ... N )  <->  -.  (
( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
117, 10mpbir 212 1  |-  0  e/  ( 1 ... N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1867    e/ wnel 2617   class class class wbr 4417  (class class class)co 6297   0cc0 9535   1c1 9536    < clt 9671    <_ cle 9672   ZZcz 10933   ...cfz 11778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-z 10934  df-fz 11779
This theorem is referenced by:  lcmflefac  14599  prmodvdslcmf  14983  prmolelcmf  14984  prmgaplcmlem2  14988  prmordvdslcmfOLD  14997  prmorlelcmfOLD  14998  prmgaplcm  15009
  Copyright terms: Public domain W3C validator