MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nelfil Structured version   Unicode version

Theorem 0nelfil 20644
Description: The empty set doesn't belong to a filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0nelfil  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)

Proof of Theorem 0nelfil
StepHypRef Expression
1 filfbas 20643 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 0nelfb 20626 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
31, 2syl 17 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1844   (/)c0 3740   ` cfv 5571   fBascfbas 18728   Filcfil 20640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fv 5579  df-fbas 18738  df-fil 20641
This theorem is referenced by:  fileln0  20645  isfil2  20651  infil  20658  filuni  20680  filufint  20715  rnelfmlem  20747  fmfnfm  20753  fclscmpi  20824
  Copyright terms: Public domain W3C validator