Theorem 0nelfb 17816

Description: No filter base contains the empty set. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfb	|- ( F e. ( fBas ` B ) -> -. (/) e. F )

Proof of Theorem 0nelfb

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 5716	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> B e. dom fBas )
2		isfbas 17814	. . . . 5 |- ( B e. dom fBas -> ( F e. ( fBas ` B ) <-> ( F C_ ~P B /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. x e. F A. y e. F ( F i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) ) )
3	1, 2	syl 16	. . . 4 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> ( F e. ( fBas ` B ) <-> ( F C_ ~P B /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. x e. F A. y e. F ( F i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) ) )
4	3	ibi 233	. . 3 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> ( F C_ ~P B /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. x e. F A. y e. F ( F i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) )
5		simpr2 964	. . 3 |- ( ( F C_ ~P B /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. x e. F A. y e. F ( F i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) -> (/) e/ F )
6	4, 5	syl 16	. 2 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> (/) e/ F )
7		df-nel 2570	. 2 |- ( (/) e/ F <-> -. (/) e. F )
8	6, 7	sylib 189	1 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> -. (/) e. F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   e. wcel 1721   =/= wne 2567   e/ wnel 2568   A.wral 2666   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   dom cdm 4837   ` cfv 5413   fBascfbas 16644

This theorem is referenced by:  fbdmn0  17819  fbncp  17824  fbun  17825  fbfinnfr  17826  0nelfil  17834  fsubbas  17852  fbasfip  17853  fgcl  17863  fbasrn  17869  uzfbas  17883  ucnextcn  18287

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-fbas 16654