Theorem 0nelfb 20624

Description: No filter base contains the empty set. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelfb	|- ( F e. ( fBas ` B ) -> -. (/) e. F )

Proof of Theorem 0nelfb

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 5875	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> B e. dom fBas )
2		isfbas 20622	. . . . 5 |- ( B e. dom fBas -> ( F e. ( fBas ` B ) <-> ( F C_ ~P B /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. x e. F A. y e. F ( F i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) ) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> ( F e. ( fBas ` B ) <-> ( F C_ ~P B /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. x e. F A. y e. F ( F i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) ) )
4	3	ibi 241	. . 3 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> ( F C_ ~P B /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. x e. F A. y e. F ( F i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) )
5		simpr2 1004	. . 3 |- ( ( F C_ ~P B /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. x e. F A. y e. F ( F i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) -> (/) e/ F )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> (/) e/ F )
7		df-nel 2601	. 2 |- ( (/) e/ F <-> -. (/) e. F )
8	6, 7	sylib 196	1 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> -. (/) e. F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   e. wcel 1842   =/= wne 2598   e/ wnel 2599   A.wral 2754   i^i cin 3413   C_ wss 3414   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   dom cdm 4823   ` cfv 5569   fBascfbas 18726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-fbas 18736

This theorem is referenced by:  fbdmn0  20627  fbncp  20632  fbun  20633  fbfinnfr  20634  0nelfil  20642  fsubbas  20660  fbasfip  20661  fgcl  20671  fbasrn  20677  uzfbas  20691  ucnextcn  21099