Theorem 0nelelxp 4067

Description: A member of a cross product (ordered pair) doesn't contain the empty set.

Assertion

Ref	Expression
0nelelxp	|- (C e. (A X. B) -> -. (/) e. C)

Proof of Theorem 0nelelxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4018	. 2 |- (C e. (A X. B) <-> E.xE.y(C = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)))
2		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
3	2	notnoti 103	. . . . . 6 |- -. -. x e. _V
4		opprc1b 3542	. . . . . 6 |- (-. x e. _V <-> (/) e. <.x, y>.)
5	3, 4	mtbi 208	. . . . 5 |- -. (/) e. <.x, y>.
6		eleq2 1958	. . . . 5 |- (C = <.x, y>. -> ((/) e. C <-> (/) e. <.x, y>.))
7	5, 6	mtbiri 785	. . . 4 |- (C = <.x, y>. -> -. (/) e. C)
8	7	adantr 425	. . 3 |- ((C = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) -> -. (/) e. C)
9	8	19.23aivv 1675	. 2 |- (E.xE.y(C = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) -> -. (/) e. C)
10	1, 9	sylbi 216	1 |- (C e. (A X. B) -> -. (/) e. C)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  <.cop 3046   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  onxpdisj 4068  dmsn0el 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain