MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 Structured version   Unicode version

Theorem 0mnnnnn0 10871
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 9628 . 2  |-  0  e.  RR
2 nnel 2751 . . 3  |-  ( -.  ( 0  -  N
)  e/  NN0  <->  ( 0  -  N )  e. 
NN0 )
3 df-neg 9846 . . . . . 6  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
43eqcomi 2417 . . . . 5  |-  ( 0  -  N )  = 
-u N
54eleq1i 2481 . . . 4  |-  ( ( 0  -  N )  e.  NN0  <->  -u N  e.  NN0 )
6 nn0ge0 10864 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u N )
7 nnre 10585 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
87le0neg1d 10166 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N ) )
9 nngt0 10607 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
10 0red 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
1110, 7ltnled 9766 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  <->  -.  N  <_  0 ) )
12 pm2.21 110 . . . . . . . 8  |-  ( -.  N  <_  0  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR ) )
1311, 12syl6bi 230 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR ) ) )
149, 13mpd 15 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR )
)
158, 14sylbird 237 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  -u N  ->  -.  0  e.  RR ) )
166, 15syl5 32 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
175, 16syl5bi 219 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  -  N
)  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
182, 17syl5bi 219 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( 0  -  N
)  e/  NN0  ->  -.  0  e.  RR )
)
191, 18mt4i 141 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1844    e/ wnel 2601   class class class wbr 4397  (class class class)co 6280   RRcr 9523   0cc0 9524    < clt 9660    <_ cle 9661    - cmin 9843   -ucneg 9844   NNcn 10578   NN0cn0 10838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator