MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 Structured version   Unicode version

Theorem 0mnnnnn0 10710
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 9484 . 2  |-  0  e.  RR
2 nnel 2791 . . 3  |-  ( -.  ( 0  -  N
)  e/  NN0  <->  ( 0  -  N )  e. 
NN0 )
3 df-neg 9696 . . . . . 6  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
43eqcomi 2463 . . . . 5  |-  ( 0  -  N )  = 
-u N
54eleq1i 2526 . . . 4  |-  ( ( 0  -  N )  e.  NN0  <->  -u N  e.  NN0 )
6 nn0ge0 10703 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u N )
7 nnre 10427 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
87le0neg1d 10009 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N ) )
9 nngt0 10449 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
10 0red 9485 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
1110, 7ltnled 9619 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  <->  -.  N  <_  0 ) )
12 pm2.21 108 . . . . . . . 8  |-  ( -.  N  <_  0  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR ) )
1311, 12syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR ) ) )
149, 13mpd 15 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR )
)
158, 14sylbird 235 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  -u N  ->  -.  0  e.  RR ) )
166, 15syl5 32 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
175, 16syl5bi 217 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  -  N
)  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
182, 17syl5bi 217 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( 0  -  N
)  e/  NN0  ->  -.  0  e.  RR )
)
191, 18mt4i 139 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1758    e/ wnel 2643   class class class wbr 4387  (class class class)co 6187   RRcr 9379   0cc0 9380    < clt 9516    <_ cle 9517    - cmin 9693   -ucneg 9694   NNcn 10420   NN0cn0 10677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-n0 10678
This theorem is referenced by:  lsw0  12366
  Copyright terms: Public domain W3C validator