MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0met Structured version   Unicode version

Theorem 0met 21163
Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
0met  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )

Proof of Theorem 0met
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4528 . 2  |-  (/)  e.  _V
2 f0 5751 . . 3  |-  (/) : (/) --> RR
3 xp0 5245 . . . 4  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
43feq2i 5709 . . 3  |-  ( (/) : ( (/)  X.  (/) ) --> RR  <->  (/) :
(/) --> RR )
52, 4mpbir 211 . 2  |-  (/) : (
(/)  X.  (/) ) --> RR
6 noel 3744 . . . 4  |-  -.  x  e.  (/)
76pm2.21i 133 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( (
x (/) y )  =  0  <->  x  =  y
) )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/) )  ->  (
( x (/) y )  =  0  <->  x  =  y ) )
96pm2.21i 133 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( x (/) y )  <_  (
( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
1093ad2ant1 1020 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/)  /\  z  e.  (/) )  ->  ( x
(/) y )  <_ 
( ( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
111, 5, 8, 10ismeti 21122 1  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 186    = wceq 1407    e. wcel 1844   (/)c0 3740   class class class wbr 4397    X. cxp 4823   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   RRcr 9523   0cc0 9524    + caddc 9527    <_ cle 9661   Metcme 18726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-map 7461  df-met 18735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator