MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1sr Structured version   Unicode version

Theorem 0lt1sr 9363
Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lt1sr  |-  0R  <R  1R

Proof of Theorem 0lt1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 9285 . . . . . 6  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 9288 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
31, 1, 2mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
4 ltaddpr 9304 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) )
53, 1, 4mp2an 672 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
6 addcompr 9291 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  1P ) )  =  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
75, 6breqtrri 4415 . . 3  |-  ( 1P 
+P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )
8 ltsrpr 9345 . . 3  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) )
97, 8mpbir 209 . 2  |-  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
10 df-0r 9332 . 2  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
11 df-1r 9333 . 2  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
129, 10, 113brtr4i 4418 1  |-  0R  <R  1R
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   <.cop 3981   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   [cec 7199   P.cnp 9127   1Pc1p 9128    +P. cpp 9129    <P cltp 9131    ~R cer 9134   0Rc0r 9136   1Rc1r 9137    <R cltr 9141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-ec 7203  df-qs 7207  df-ni 9142  df-pli 9143  df-mi 9144  df-lti 9145  df-plpq 9178  df-mpq 9179  df-ltpq 9180  df-enq 9181  df-nq 9182  df-erq 9183  df-plq 9184  df-mq 9185  df-1nq 9186  df-rq 9187  df-ltnq 9188  df-np 9251  df-1p 9252  df-plp 9253  df-ltp 9255  df-enr 9327  df-nr 9328  df-ltr 9331  df-0r 9332  df-1r 9333
This theorem is referenced by:  1ne0sr  9364  supsrlem  9379
  Copyright terms: Public domain W3C validator