MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Structured version   Unicode version

Theorem 0lt1 10082
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 9598 . . 3  |-  1  e.  RR
2 ax-1ne0 9564 . . 3  |-  1  =/=  0
3 msqgt0 10080 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  =/=  0 )  -> 
0  <  ( 1  x.  1 ) )
41, 2, 3mp2an 672 . 2  |-  0  <  ( 1  x.  1 )
5 ax-1cn 9553 . . 3  |-  1  e.  CC
65mulid1i 9601 . 2  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
74, 6breqtri 4460 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500    < clt 9631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  0le1  10083  eqneg  10271  elimgt0  10385  ltp1  10387  ltm1  10389  recgt0  10393  mulgt1  10408  reclt1  10447  recgt1  10448  recgt1i  10449  recp1lt1  10450  recreclt  10451  recgt0ii  10458  inelr  10533  nnge1  10569  nngt0  10572  0nnn  10574  nnrecgt0  10580  2pos  10634  3pos  10636  4pos  10638  5pos  10640  6pos  10641  7pos  10642  8pos  10643  9pos  10644  10pos  10645  neg1lt0  10649  halflt1  10764  nn0p1gt0  10832  elnnnn0c  10848  elnnz1  10897  nn0lt10b  10932  recnz  10945  1rp  11235  xmulid1  11482  fz10  11717  fzpreddisj  11740  elfz1b  11759  elfznelfzob  11898  1mod  12010  expgt1  12186  ltexp2a  12199  expcan  12200  ltexp2  12201  leexp2  12202  leexp2a  12203  expnbnd  12277  expnlbnd  12278  expnlbnd2  12279  expmulnbnd  12280  discr1  12284  bcn1  12373  hashnn0n0nn  12440  s2fv0  12832  swrd2lsw  12872  2swrd2eqwrdeq  12873  sgn1  12907  resqrex  13066  mulcn2  13400  cvgrat  13674  cos1bnd  13904  sin01gt0  13907  sincos1sgn  13910  ruclem8  13952  sadcadd  14090  divdenle  14264  43prm  14589  ipostr  15762  srgbinomlem4  17173  abvtrivd  17468  gzrngunit  18462  znidomb  18578  psgnodpmr  18604  thlle  18706  leordtval2  19691  mopnex  21000  dscopn  21072  metnrmlem1a  21340  xrhmph  21425  evth  21437  xlebnum  21443  vitalilem5  21999  vitali  22000  ply1remlem  22541  plyremlem  22678  plyrem  22679  vieta1lem2  22685  reeff1olem  22819  sinhalfpilem  22834  rplogcl  22967  logtayllem  23018  cxplt  23053  cxple  23054  atanlogaddlem  23222  ressatans  23243  rlimcnp  23273  rlimcnp2  23274  cxp2limlem  23283  cxp2lim  23284  cxploglim2  23286  amgmlem  23297  emcllem2  23304  harmonicubnd  23317  fsumharmonic  23319  ftalem1  23324  ftalem2  23325  chpchtsum  23472  chpub  23473  mersenne  23480  perfectlem2  23483  efexple  23534  chebbnd1  23635  dchrmusumlema  23656  dchrvmasumlem2  23661  dchrvmasumiflem1  23664  dchrisum0flblem2  23672  dchrisum0lema  23677  dchrisum0lem1  23679  dchrisum0lem2a  23680  mulog2sumlem1  23697  chpdifbndlem1  23716  chpdifbnd  23718  selberg3lem1  23720  pntrmax  23727  pntrsumo1  23728  pntpbnd1a  23748  pntpbnd2  23750  pntibndlem1  23752  pntlem3  23772  pnt  23777  ostth2lem1  23781  ostth2lem3  23798  ostth2lem4  23799  axcontlem2  24246  spthispth  24553  usgrcyclnl1  24618  clwwlkf1  24774  esumcst  28049  hasheuni  28069  ballotlemi1  28419  ballotlemic  28423  sgnnbi  28462  sgnpbi  28463  sgnmulsgp  28467  signsply0  28486  signswch  28496  zetacvg  28535  bpoly4  29797  asindmre  30078  areacirclem4  30086  pellexlem2  30742  pellexlem6  30746  pell14qrgt0  30771  elpell1qr2  30784  pellfundex  30798  pellfundrp  30800  rmxypos  30861  isprm7  31168  radcnvrat  31171  sumnnodd  31590  dvnmul  31694  stoweidlem7  31743  stoweidlem36  31772  stoweidlem38  31774  stoweidlem42  31778  stoweidlem51  31787  stoweidlem59  31795  stirlinglem5  31814  stirlinglem7  31816  stirlinglem10  31819  stirlinglem11  31820  stirlinglem12  31821  stirlinglem15  31824  dirkeritg  31838  fourierdlem11  31854  fourierdlem30  31873  fourierdlem47  31890  fourierdlem79  31922  fourierdlem103  31946  fourierdlem104  31947  fouriersw  31968  etransclem4  31975  etransclem31  32002  etransclem32  32003  etransclem35  32006  etransclem41  32012  uhgrepe  32332  imo72b2  37797
  Copyright terms: Public domain W3C validator