MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Structured version   Unicode version

Theorem 0lt1 10114
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 9624 . . 3  |-  1  e.  RR
2 ax-1ne0 9590 . . 3  |-  1  =/=  0
3 msqgt0 10112 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  =/=  0 )  -> 
0  <  ( 1  x.  1 ) )
41, 2, 3mp2an 670 . 2  |-  0  <  ( 1  x.  1 )
5 ax-1cn 9579 . . 3  |-  1  e.  CC
65mulid1i 9627 . 2  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
74, 6breqtri 4417 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    x. cmul 9526    < clt 9657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843
This theorem is referenced by:  0le1  10115  eqneg  10304  elimgt0  10418  ltp1  10420  ltm1  10422  recgt0  10426  mulgt1  10441  reclt1  10479  recgt1  10480  recgt1i  10481  recp1lt1  10482  recreclt  10483  recgt0ii  10490  inelr  10565  nnge1  10601  nngt0  10604  0nnn  10607  nnrecgt0  10613  2pos  10667  3pos  10669  4pos  10671  5pos  10673  6pos  10674  7pos  10675  8pos  10676  9pos  10677  10pos  10678  neg1lt0  10682  halflt1  10797  nn0p1gt0  10865  elnnnn0c  10881  elnnz1  10930  nn0lt10b  10965  recnz  10978  1rp  11268  xmulid1  11523  fz10  11758  fzpreddisj  11782  elfz1b  11801  elfznelfzob  11951  1mod  12065  expgt1  12246  ltexp2a  12260  expcan  12261  ltexp2  12262  leexp2  12263  leexp2a  12264  expnbnd  12337  expnlbnd  12338  expnlbnd2  12339  expmulnbnd  12340  discr1  12344  bcn1  12433  hashnn0n0nn  12505  s2fv0  12904  swrd2lsw  12944  2swrd2eqwrdeq  12945  sgn1  13072  resqrex  13231  mulcn2  13565  cvgrat  13842  bpoly4  14002  cos1bnd  14129  sin01gt0  14132  sincos1sgn  14135  ruclem8  14177  sadcadd  14315  divdenle  14489  43prm  14814  ipostr  16105  srgbinomlem4  17512  abvtrivd  17807  gzrngunit  18801  znidomb  18896  psgnodpmr  18922  thlle  19024  leordtval2  20004  mopnex  21312  dscopn  21384  metnrmlem1a  21652  xrhmph  21737  evth  21749  xlebnum  21755  vitalilem5  22311  vitali  22312  ply1remlem  22853  plyremlem  22990  plyrem  22991  vieta1lem2  22997  reeff1olem  23131  sinhalfpilem  23146  rplogcl  23281  logtayllem  23332  cxplt  23367  cxple  23368  atanlogaddlem  23567  ressatans  23588  rlimcnp  23619  rlimcnp2  23620  cxp2limlem  23629  cxp2lim  23630  cxploglim2  23632  amgmlem  23643  emcllem2  23650  harmonicubnd  23663  fsumharmonic  23665  zetacvg  23668  ftalem1  23725  ftalem2  23726  chpchtsum  23873  chpub  23874  mersenne  23881  perfectlem2  23884  efexple  23935  chebbnd1  24036  dchrmusumlema  24057  dchrvmasumlem2  24062  dchrvmasumiflem1  24065  dchrisum0flblem2  24073  dchrisum0lema  24078  dchrisum0lem1  24080  dchrisum0lem2a  24081  mulog2sumlem1  24098  chpdifbndlem1  24117  chpdifbnd  24119  selberg3lem1  24121  pntrmax  24128  pntrsumo1  24129  pntpbnd1a  24149  pntpbnd2  24151  pntibndlem1  24153  pntlem3  24173  pnt  24178  ostth2lem1  24182  ostth2lem3  24199  ostth2lem4  24200  axcontlem2  24672  spthispth  24979  usgrcyclnl1  25044  clwwlkf1  25200  esumcst  28496  hasheuni  28518  ballotlemi1  28933  ballotlemic  28937  sgnnbi  28976  sgnpbi  28977  sgnmulsgp  28981  signsply0  29000  signswch  29010  asindmre  31453  areacirclem4  31461  pellexlem2  35107  pellexlem6  35111  pell14qrgt0  35136  elpell1qr2  35149  pellfundex  35163  pellfundrp  35165  rmxypos  35226  relexp01min  35672  imo72b2  35984  isprm7  36020  radcnvrat  36023  sumnnodd  36985  dvnmul  37089  stoweidlem7  37138  stoweidlem36  37167  stoweidlem38  37169  stoweidlem42  37173  stoweidlem51  37182  stoweidlem59  37190  stirlinglem5  37209  stirlinglem7  37211  stirlinglem10  37214  stirlinglem11  37215  stirlinglem12  37216  stirlinglem15  37219  dirkeritg  37233  fourierdlem11  37249  fourierdlem30  37268  fourierdlem47  37285  fourierdlem79  37317  fourierdlem103  37341  fourierdlem104  37342  fouriersw  37363  etransclem4  37370  etransclem31  37397  etransclem32  37398  etransclem35  37401  etransclem41  37407  m1mod0mod1  37655  uhgrepe  37988  divlt1lt  38610  m1modmmod  38625  regt1loggt0  38648  rege1logbrege0  38670  nnlog2ge0lt1  38678
  Copyright terms: Public domain W3C validator