MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Structured version   Unicode version

Theorem 0lt1 10071
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 9591 . . 3  |-  1  e.  RR
2 ax-1ne0 9557 . . 3  |-  1  =/=  0
3 msqgt0 10069 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  =/=  0 )  -> 
0  <  ( 1  x.  1 ) )
41, 2, 3mp2an 672 . 2  |-  0  <  ( 1  x.  1 )
5 ax-1cn 9546 . . 3  |-  1  e.  CC
65mulid1i 9594 . 2  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
74, 6breqtri 4470 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    < clt 9624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804
This theorem is referenced by:  0le1  10072  eqneg  10260  elimgt0  10374  ltp1  10376  ltm1  10378  recgt0  10382  mulgt1  10397  reclt1  10436  recgt1  10437  recgt1i  10438  recp1lt1  10439  recreclt  10440  recgt0ii  10447  inelr  10522  nnge1  10558  nngt0  10561  0nnn  10563  nnrecgt0  10569  2pos  10623  3pos  10625  4pos  10627  5pos  10629  6pos  10630  7pos  10631  8pos  10632  9pos  10633  10pos  10634  neg1lt0  10638  halflt1  10753  nn0p1gt0  10821  elnnnn0c  10837  elnnz1  10886  recnz  10932  1rp  11220  xmulid1  11467  fz10  11702  fzpreddisj  11725  elfz1b  11744  elfznelfzob  11880  1mod  11991  expgt1  12166  ltexp2a  12179  expcan  12180  ltexp2  12181  leexp2  12182  leexp2a  12183  expnbnd  12257  expnlbnd  12258  expnlbnd2  12259  expmulnbnd  12260  discr1  12264  bcn1  12353  hashnn0n0nn  12420  brfi1uzind  12492  ccatws1n0  12593  s2fv0  12807  swrd2lsw  12847  2swrd2eqwrdeq  12848  sgn1  12882  resqrex  13041  mulcn2  13374  cvgrat  13648  cos1bnd  13776  sin01gt0  13779  sincos1sgn  13782  ruclem8  13824  sadcadd  13960  divdenle  14134  43prm  14458  ipostr  15633  srgbinomlem4  16979  abvtrivd  17269  gzrngunit  18248  znidomb  18364  psgnodpmr  18390  thlle  18492  leordtval2  19476  mopnex  20754  dscopn  20826  metnrmlem1a  21094  xrhmph  21179  evth  21191  xlebnum  21197  vitalilem5  21753  vitali  21754  ply1remlem  22295  plyremlem  22431  plyrem  22432  vieta1lem2  22438  reeff1olem  22572  sinhalfpilem  22586  rplogcl  22714  logtayllem  22765  cxplt  22800  cxple  22801  atanlogaddlem  22969  ressatans  22990  rlimcnp  23020  rlimcnp2  23021  cxp2limlem  23030  cxp2lim  23031  cxploglim2  23033  amgmlem  23044  emcllem2  23051  harmonicubnd  23064  fsumharmonic  23066  ftalem1  23071  ftalem2  23072  chpchtsum  23219  chpub  23220  mersenne  23227  perfectlem2  23230  efexple  23281  chebbnd1  23382  dchrmusumlema  23403  dchrvmasumlem2  23408  dchrvmasumiflem1  23411  dchrisum0flblem2  23419  dchrisum0lema  23424  dchrisum0lem1  23426  dchrisum0lem2a  23427  mulog2sumlem1  23444  chpdifbndlem1  23463  chpdifbnd  23465  selberg3lem1  23467  pntrmax  23474  pntrsumo1  23475  pntpbnd1a  23495  pntpbnd2  23497  pntibndlem1  23499  pntlem3  23519  pnt  23524  ostth2lem1  23528  ostth2lem3  23545  ostth2lem4  23546  axcontlem2  23941  spthispth  24248  usgrcyclnl1  24313  clwwlkf1  24469  rusgranumwlks  24629  esumcst  27708  hasheuni  27728  ballotlemi1  28078  ballotlemic  28082  sgnnbi  28121  sgnpbi  28122  sgnsgn  28124  sgnmulsgp  28126  signsply0  28145  signswch  28155  zetacvg  28194  bpoly4  29395  asindmre  29677  areacirclem4  29685  pellexlem2  30368  pellexlem6  30372  pell14qrgt0  30397  elpell1qr2  30410  pellfundex  30424  pellfundrp  30426  rmxypos  30487  isprm7  30795  sumnnodd  31172  stoweidlem7  31307  stoweidlem36  31336  stoweidlem38  31338  stoweidlem42  31342  stoweidlem51  31351  stoweidlem59  31359  stirlinglem5  31378  stirlinglem7  31380  stirlinglem10  31383  stirlinglem11  31384  stirlinglem12  31385  stirlinglem15  31388  dirkeritg  31402  fourierdlem11  31418  fourierdlem30  31437  fourierdlem47  31454  fourierdlem79  31486  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fouriersw  31532  uhgrepe  31847
  Copyright terms: Public domain W3C validator