Theorem 0lnfn 11546

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	|- (~H X. {0}) e. LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnfn 11447	. 2 |- ((~H X. {0}) e. LinFn <-> ((~H X. {0}):~H-->CC /\ A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H ((~H X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((~H X. {0})` y)) + ((~H X. {0})` z))))
2		0cn 6481	. . . . 5 |- 0 e. CC
3	2	elisseti 2301	. . . 4 |- 0 e. _V
4	3	fconst 4602	. . 3 |- (~H X. {0}):~H-->{0}
5		snssi 3129	. . . 4 |- (0 e. CC -> {0} C_ CC)
6	2, 5	ax-mp 7	. . 3 |- {0} C_ CC
7		fss 4571	. . 3 |- (((~H X. {0}):~H-->{0} /\ {0} C_ CC) -> (~H X. {0}):~H-->CC)
8	4, 6, 7	mp2an 761	. 2 |- (~H X. {0}):~H-->CC
9		hvaddcl 10514	. . . . . . 7 |- (((x .h y) e. ~H /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
10		hvmulcl 10515	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (x .h y) e. ~H)
11	9, 10	sylan 497	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
12	3	fvconst2 4822	. . . . . 6 |- (((x .h y) +h z) e. ~H -> ((~H X. {0})` ((x .h y) +h z)) = 0)
13	11, 12	syl 12	. . . . 5 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> ((~H X. {0})` ((x .h y) +h z)) = 0)
14	3	fvconst2 4822	. . . . . . . . 9 |- (y e. ~H -> ((~H X. {0})` y) = 0)
15	14	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (y e. ~H -> (x x. ((~H X. {0})` y)) = (x x. 0))
16		mul01 6606	. . . . . . . 8 |- (x e. CC -> (x x. 0) = 0)
17	15, 16	sylan9eqr 1951	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (x x. ((~H X. {0})` y)) = 0)
18	3	fvconst2 4822	. . . . . . 7 |- (z e. ~H -> ((~H X. {0})` z) = 0)
19	17, 18	opreqan12d 4902	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> ((x x. ((~H X. {0})` y)) + ((~H X. {0})` z)) = (0 + 0))
20	2	addid1i 6483	. . . . . 6 |- (0 + 0) = 0
21	19, 20	syl6eq 1944	. . . . 5 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> ((x x. ((~H X. {0})` y)) + ((~H X. {0})` z)) = 0)
22	13, 21	eqtr4d 1928	. . . 4 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> ((~H X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((~H X. {0})` y)) + ((~H X. {0})` z)))
23	22	3impa 1062	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((~H X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((~H X. {0})` y)) + ((~H X. {0})` z)))
24	23	rgen3 2187	. 2 |- A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H ((~H X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((~H X. {0})` y)) + ((~H X. {0})` z))
25	1, 8, 24	mpbir2an 800	1 |- (~H X. {0}) e. LinFn

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  {csn 3044   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  LinFnclf 10455

This theorem is referenced by:  nmfn0 11548  lnfn0 11613  lnfnmul 11614  nmbdfnlb 11616  nmcfnex 11625  nmcfnlb 11626  lnfnconi 11627  lnfncon 11628  riesz4 11634  riesz1 11635

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hfvmul 10507

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-lnfn 11411

Copyright terms: Public domain