HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Structured version   Unicode version

Theorem 0lnfn 25542
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn

Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9490 . . 3  |-  0  e.  CC
21fconst6 5709 . 2  |-  ( ~H 
X.  { 0 } ) : ~H --> CC
3 hvmulcl 24568 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
4 hvaddcl 24567 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
53, 4sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
6 c0ex 9492 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
76fvconst2 6043 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  0 )
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  0 )
96fvconst2 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y )  =  0 )
109oveq2d 6217 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  y
) )  =  ( x  x.  0 ) )
11 mul01 9660 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
1210, 11sylan9eqr 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  x.  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) )  =  0 )
136fvconst2 6043 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  z )  =  0 )
1412, 13oveqan12d 6220 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) )  =  ( 0  +  0 ) )
15 00id 9656 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1614, 15syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) )  =  0 )
178, 16eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) ) )
18173impa 1183 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  x.  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 z ) ) )
1918rgen3 2919 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) )  +  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  z ) )
20 ellnfn 25440 . 2  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  <->  (
( ~H  X.  {
0 } ) : ~H --> CC  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) ) ) )
212, 19, 20mpbir2an 911 1  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {csn 3986    X. cxp 4947   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394    + caddc 9397    x. cmul 9399   ~Hchil 24474    +h cva 24475    .h csm 24476   LinFnclf 24509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-hilex 24554  ax-hfvadd 24555  ax-hfvmul 24560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-ltxr 9535  df-lnfn 25405
This theorem is referenced by:  nmfn0  25544  lnfn0  25604  lnfnmul  25605  nmbdfnlb  25607  nmcfnex  25610  nmcfnlb  25611  lnfncon  25613  riesz4  25621  riesz1  25622
  Copyright terms: Public domain W3C validator