Theorem 0lnfn 26566

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	|- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 9577	. . 3 |- 0 e. CC
2	1	fconst6 5766	. 2 |- ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC
3		hvmulcl 25592	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
4		hvaddcl 25591	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
5	3, 4	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
6		c0ex 9579	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
7	6	fvconst2 6107	. . . . . 6 |- ( ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = 0 )
8	5, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = 0 )
9	6	fvconst2 6107	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) = 0 )
10	9	oveq2d 6291	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = ( x x. 0 ) )
11		mul01 9747	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 )
12	10, 11	sylan9eqr 2523	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = 0 )
13	6	fvconst2 6107	. . . . . . 7 |- ( z e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) = 0 )
14	12, 13	oveqan12d 6294	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) = ( 0 + 0 ) )
15		00id 9743	. . . . . 6 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	syl6eq 2517	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) = 0 )
17	8, 16	eqtr4d 2504	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) )
18	17	3impa 1186	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) )
19	18	rgen3 2883	. 2 |- A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) )
20		ellnfn 26464	. 2 |- ( ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn <-> ( ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) ) )
21	2, 19, 20	mpbir2an 913	1 |- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   {csn 4020   X. cxp 4990   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481   + caddc 9484   x. cmul 9486   ~Hchil 25498   +h cva 25499   .h csm 25500   LinFnclf 25533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hfvmul 25584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-lnfn 26429

This theorem is referenced by:  nmfn0  26568  lnfn0  26628  lnfnmul  26629  nmbdfnlb  26631  nmcfnex  26634  nmcfnlb  26635  lnfncon  26637  riesz4  26645  riesz1  26646