Theorem 0lnfn 9992

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	|- (H~ X. {0}) e. LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnfn 9893	. 2 |- ((H~ X. {0}) e. LinFn <-> ((H~ X. {0}):H~-->CC /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z))))
2		0cn 5393	. . . . 5 |- 0 e. CC
3	2	elisseti 1865	. . . 4 |- 0 e. V
4	3	fconst 3715	. . 3 |- (H~ X. {0}):H~-->{0}
5		snssi 2520	. . . 4 |- (0 e. CC -> {0} (_ CC)
6	2, 5	ax-mp 7	. . 3 |- {0} (_ CC
7		fss 3692	. . 3 |- (((H~ X. {0}):H~-->{0} /\ {0} (_ CC) -> (H~ X. {0}):H~-->CC)
8	4, 6, 7	mp2an 709	. 2 |- (H~ X. {0}):H~-->CC
9		hvaddcl 8965	. . . . . . 7 |- (((x .h y) e. H~ /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) e. H~)
10		hvmulcl 8966	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
11	9, 10	sylan 459	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) e. H~)
12	3	fvconst2 3903	. . . . . 6 |- (((x .h y) +h z) e. H~ -> ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = 0)
13	11, 12	syl 10	. . . . 5 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = 0)
14	3	fvconst2 3903	. . . . . . . . 9 |- (y e. H~ -> ((H~ X. {0})` y) = 0)
15	14	opreq2d 4034	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> (x x. ((H~ X. {0})` y)) = (x x. 0))
16		mul01 5508	. . . . . . . 8 |- (x e. CC -> (x x. 0) = 0)
17	15, 16	sylan9eqr 1576	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x x. ((H~ X. {0})` y)) = 0)
18	3	fvconst2 3903	. . . . . . 7 |- (z e. H~ -> ((H~ X. {0})` z) = 0)
19	17, 18	opreqan12d 4037	. . . . . 6 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z)) = (0 + 0))
20	2	addid1i 5395	. . . . . 6 |- (0 + 0) = 0
21	19, 20	syl6eq 1570	. . . . 5 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z)) = 0)
22	13, 21	eqtr4d 1557	. . . 4 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z)))
23	22	3impa 840	. . 3 |- ((x e. CC /\ y e. H~ /\ z e. H~) -> ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z)))
24	23	rgen3 1771	. 2 |- A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ ((H~ X. {0})` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((H~ X. {0})` y)) + ((H~ X. {0})` z))
25	1, 8, 24	mpbir2an 742	1 |- (H~ X. {0}) e. LinFn

Syntax hints:   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  A.wral 1692   (_ wss 2098  {csn 2461   X. cxp 3225  -->wf 3235  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  CCcc 5297  0cc0 5299   + caddc 5302   x. cmul 5304  H~chil 8871   +h cva 8872   .h csm 8873  LinFnclf 8906

This theorem is referenced by:  nmfn0 9994  lnfn0 10059  lnfnmul 10060  nmbdfnlb 10062  nmcfnex 10071  nmcfnlb 10072  lnfnconi 10073  lnfncon 10074  riesz4 10080  riesz1 10081

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687  ax-hilex 8952  ax-hfvadd 8953  ax-hfvmul 8958

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-sub 5421  df-neg 5423  df-lnfn 9857

Copyright terms: Public domain