Theorem 0lnfn 25542

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	|- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 9490	. . 3 |- 0 e. CC
2	1	fconst6 5709	. 2 |- ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC
3		hvmulcl 24568	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
4		hvaddcl 24567	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
5	3, 4	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
6		c0ex 9492	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
7	6	fvconst2 6043	. . . . . 6 |- ( ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = 0 )
8	5, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = 0 )
9	6	fvconst2 6043	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) = 0 )
10	9	oveq2d 6217	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = ( x x. 0 ) )
11		mul01 9660	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 )
12	10, 11	sylan9eqr 2517	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = 0 )
13	6	fvconst2 6043	. . . . . . 7 |- ( z e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) = 0 )
14	12, 13	oveqan12d 6220	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) = ( 0 + 0 ) )
15		00id 9656	. . . . . 6 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	syl6eq 2511	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) = 0 )
17	8, 16	eqtr4d 2498	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) )
18	17	3impa 1183	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) )
19	18	rgen3 2919	. 2 |- A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) )
20		ellnfn 25440	. 2 |- ( ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn <-> ( ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) ) )
21	2, 19, 20	mpbir2an 911	1 |- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   {csn 3986   X. cxp 4947   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394   + caddc 9397   x. cmul 9399   ~Hchil 24474   +h cva 24475   .h csm 24476   LinFnclf 24509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-hilex 24554  ax-hfvadd 24555  ax-hfvmul 24560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-ltxr 9535  df-lnfn 25405

This theorem is referenced by:  nmfn0  25544  lnfn0  25604  lnfnmul  25605  nmbdfnlb  25607  nmcfnex  25610  nmcfnlb  25611  lnfncon  25613  riesz4  25621  riesz1  25622