HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Structured version   Unicode version

Theorem 0lnfn 27197
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn

Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9538 . . 3  |-  0  e.  CC
21fconst6 5714 . 2  |-  ( ~H 
X.  { 0 } ) : ~H --> CC
3 hvmulcl 26224 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
4 hvaddcl 26223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
53, 4sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
6 c0ex 9540 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
76fvconst2 6063 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  0 )
85, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  0 )
96fvconst2 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y )  =  0 )
109oveq2d 6250 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  y
) )  =  ( x  x.  0 ) )
11 mul01 9713 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  0 )  =  0 )
1210, 11sylan9eqr 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  x.  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) )  =  0 )
136fvconst2 6063 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  z )  =  0 )
1412, 13oveqan12d 6253 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) )  =  ( 0  +  0 ) )
15 00id 9709 . . . . . 6  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1614, 15syl6eq 2459 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) )  =  0 )
178, 16eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) ) )
18173impa 1192 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  x.  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 z ) ) )
1918rgen3 2829 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) )  +  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  z ) )
20 ellnfn 27095 . 2  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  <->  (
( ~H  X.  {
0 } ) : ~H --> CC  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  +  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `  z
) ) ) )
212, 19, 20mpbir2an 921 1  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   {csn 3971    X. cxp 4940   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   0cc0 9442    + caddc 9445    x. cmul 9447   ~Hchil 26130    +h cva 26131    .h csm 26132   LinFnclf 26165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-hilex 26210  ax-hfvadd 26211  ax-hfvmul 26216
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-ltxr 9583  df-lnfn 27060
This theorem is referenced by:  nmfn0  27199  lnfn0  27259  lnfnmul  27260  nmbdfnlb  27262  nmcfnex  27265  nmcfnlb  27266  lnfncon  27268  riesz4  27276  riesz1  27277
  Copyright terms: Public domain W3C validator