Theorem 0lnfn 27197

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	|- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 9538	. . 3 |- 0 e. CC
2	1	fconst6 5714	. 2 |- ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC
3		hvmulcl 26224	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
4		hvaddcl 26223	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .h y ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
5	3, 4	sylan 469	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H )
6		c0ex 9540	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
7	6	fvconst2 6063	. . . . . 6 |- ( ( ( x .h y ) +h z ) e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = 0 )
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = 0 )
9	6	fvconst2 6063	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) = 0 )
10	9	oveq2d 6250	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = ( x x. 0 ) )
11		mul01 9713	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 )
12	10, 11	sylan9eqr 2465	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) = 0 )
13	6	fvconst2 6063	. . . . . . 7 |- ( z e. ~H -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) = 0 )
14	12, 13	oveqan12d 6253	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) = ( 0 + 0 ) )
15		00id 9709	. . . . . 6 |- ( 0 + 0 ) = 0
16	14, 15	syl6eq 2459	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) = 0 )
17	8, 16	eqtr4d 2446	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) )
18	17	3impa 1192	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) )
19	18	rgen3 2829	. 2 |- A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) )
20		ellnfn 27095	. 2 |- ( ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn <-> ( ( ~H X. { 0 } ) : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( ( ~H X. { 0 } ) ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( ( ~H X. { 0 } ) ` y ) ) + ( ( ~H X. { 0 } ) ` z ) ) ) )
21	2, 19, 20	mpbir2an 921	1 |- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn

Syntax hints:   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   {csn 3971   X. cxp 4940   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   0cc0 9442   + caddc 9445   x. cmul 9447   ~Hchil 26130   +h cva 26131   .h csm 26132   LinFnclf 26165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-hilex 26210  ax-hfvadd 26211  ax-hfvmul 26216

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-ltxr 9583  df-lnfn 27060

This theorem is referenced by:  nmfn0  27199  lnfn0  27259  lnfnmul  27260  nmbdfnlb  27262  nmcfnex  27265  nmcfnlb  27266  lnfncon  27268  riesz4  27276  riesz1  27277