Theorem 0idsr 5271

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals.

Assertion

Ref	Expression
0idsr	|- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)

Proof of Theorem 0idsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5232	. 2 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		opreq1 4026	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R +R 0R) = (A +R 0R))
3		id 59	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> [<.x, y>.] ~R = A)
4	2, 3	eqeq12d 1536	. 2 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R +R 0R) = [<.x, y>.] ~R <-> (A +R 0R) = A))
5		1pr 5182	. . . . . 6 |- 1P e. P.
6	5, 5	pm3.2i 292	. . . . 5 |- (1P e. P. /\ 1P e. P.)
7		addsrpr 5249	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
8	6, 7	mpan2 708	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
9		addclpr 5185	. . . . . . 7 |- ((x e. P. /\ 1P e. P.) -> (x +P. 1P) e. P.)
10	5, 9	mpan2 708	. . . . . 6 |- (x e. P. -> (x +P. 1P) e. P.)
11		addclpr 5185	. . . . . . 7 |- ((y e. P. /\ 1P e. P.) -> (y +P. 1P) e. P.)
12	5, 11	mpan2 708	. . . . . 6 |- (y e. P. -> (y +P. 1P) e. P.)
13	10, 12	anim12i 340	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x +P. 1P) e. P. /\ (y +P. 1P) e. P.))
14		visset 1860	. . . . . . 7 |- x e. V
15		visset 1860	. . . . . . 7 |- y e. V
16	5	elisseti 1865	. . . . . . 7 |- 1P e. V
17		visset 1860	. . . . . . . 8 |- z e. V
18		visset 1860	. . . . . . . 8 |- w e. V
19	17, 18	addcompr 5188	. . . . . . 7 |- (z +P. w) = (w +P. z)
20		visset 1860	. . . . . . . 8 |- v e. V
21	18, 20	addasspr 5189	. . . . . . 7 |- ((z +P. w) +P. v) = (z +P. (w +P. v))
22	14, 15, 16, 19, 21	caopr12 4119	. . . . . 6 |- (x +P. (y +P. 1P)) = (y +P. (x +P. 1P))
23		enreceq 5242	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((x +P. 1P) e. P. /\ (y +P. 1P) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R <-> (x +P. (y +P. 1P)) = (y +P. (x +P. 1P))))
24	22, 23	mpbiri 201	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((x +P. 1P) e. P. /\ (y +P. 1P) e. P.)) -> [<.x, y>.] ~R = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
25	13, 24	mpdan 716	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> [<.x, y>.] ~R = [<.(x +P. 1P), (y +P. 1P)>.] ~R )
26	8, 25	eqtr4d 1557	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.x, y>.] ~R )
27		df-0r 5236	. . . 4 |- 0R = [<.1P, 1P>.] ~R
28	27	opreq2i 4030	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R +R 0R) = ([<.x, y>.] ~R +R [<.1P, 1P>.] ~R )
29	26, 28	syl5eq 1566	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R +R 0R) = [<.x, y>.] ~R )
30	1, 4, 29	ecoptocl 4364	1 |- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  <.cop 2463  (class class class)co 4021  [cec 4317  P.cnp 5050  1Pc1p 5051   +P. cpp 5052   ~R cer 5057  R.cnr 5058  0Rc0r 5059   +R cplr 5062

This theorem is referenced by:  addgt0sr 5278  sqgt0sr 5280  ssgt0sr 5282  supsrlem2 5291  supsrlem5 5294  addresr 5321  mulresr 5322  ax0id 5346  ax1id 5347  axi2m1 5350  axcnre 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-0r 5236

Copyright terms: Public domain