Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0hf Structured version   Unicode version

Theorem 0hf 28166
Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0hf  |-  (/)  e. Hf

Proof of Theorem 0hf
StepHypRef Expression
1 peano1 6490 . . . 4  |-  (/)  e.  om
2 peano2 6491 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  ->  suc  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  suc  (/)  e.  om
4 0elpw 4456 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P ( R1 `  (/) )
5 0elon 4767 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
6 r1suc 7969 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  (/) )  =  ~P ( R1 `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  (/) )  =  ~P ( R1 `  (/) )
84, 7eleqtrri 2511 . . 3  |-  (/)  e.  ( R1 `  suc  (/) )
9 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  (/)  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  suc  (/) ) )
109eleq2d 2505 . . . 4  |-  ( x  =  suc  (/)  ->  ( (/) 
e.  ( R1 `  x )  <->  (/)  e.  ( R1 `  suc  (/) ) ) )
1110rspcev 3068 . . 3  |-  ( ( suc  (/)  e.  om  /\  (/) 
e.  ( R1 `  suc  (/) ) )  ->  E. x  e.  om  (/) 
e.  ( R1 `  x ) )
123, 8, 11mp2an 672 . 2  |-  E. x  e.  om  (/)  e.  ( R1
`  x )
13 elhf 28163 . 2  |-  ( (/)  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  (/) 
e.  ( R1 `  x ) )
1412, 13mpbir 209 1  |-  (/)  e. Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   Oncon0 4714   suc csuc 4716   ` cfv 5413   omcom 6471   R1cr1 7961   Hf chf 28161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-r1 7963  df-hf 28162
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator