Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0hf Structured version   Unicode version

Theorem 0hf 28358
Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0hf  |-  (/)  e. Hf

Proof of Theorem 0hf
StepHypRef Expression
1 peano1 6604 . . . 4  |-  (/)  e.  om
2 peano2 6605 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  ->  suc  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  suc  (/)  e.  om
4 0elpw 4568 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P ( R1 `  (/) )
5 0elon 4879 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
6 r1suc 8087 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  (/) )  =  ~P ( R1 `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  (/) )  =  ~P ( R1 `  (/) )
84, 7eleqtrri 2541 . . 3  |-  (/)  e.  ( R1 `  suc  (/) )
9 fveq2 5798 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  (/)  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  suc  (/) ) )
109eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( x  =  suc  (/)  ->  ( (/) 
e.  ( R1 `  x )  <->  (/)  e.  ( R1 `  suc  (/) ) ) )
1110rspcev 3177 . . 3  |-  ( ( suc  (/)  e.  om  /\  (/) 
e.  ( R1 `  suc  (/) ) )  ->  E. x  e.  om  (/) 
e.  ( R1 `  x ) )
123, 8, 11mp2an 672 . 2  |-  E. x  e.  om  (/)  e.  ( R1
`  x )
13 elhf 28355 . 2  |-  ( (/)  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  (/) 
e.  ( R1 `  x ) )
1412, 13mpbir 209 1  |-  (/)  e. Hf
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2799   (/)c0 3744   ~Pcpw 3967   Oncon0 4826   suc csuc 4828   ` cfv 5525   omcom 6585   R1cr1 8079   Hf chf 28353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-r1 8081  df-hf 28354
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator