MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0hashbc Structured version   Unicode version

Theorem 0hashbc 14550
Description: There are no subsets of the empty set with size greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
0hashbc  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Distinct variable groups:    a, b,
i    N, a, i
Allowed substitution hints:    C( i, a, b)    N( b)

Proof of Theorem 0hashbc
StepHypRef Expression
1 0fin 7685 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2 nnnn0 10741 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 ramval.c . . . . 5  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
43hashbc2 14549 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
51, 2, 4sylancr 661 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
6 hash0 12363 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
76oveq1i 6228 . . . 4  |-  ( (
# `  (/) )  _C  N )  =  ( 0  _C  N )
8 bc0k 12314 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  _C  N )  =  0 )
97, 8syl5eq 2449 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( # `  (/) )  _C  N )  =  0 )
105, 9eqtrd 2437 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  0 )
11 ovex 6246 . . 3  |-  ( (/) C N )  e.  _V
12 hasheq0 12359 . . 3  |-  ( (
(/) C N )  e.  _V  ->  (
( # `  ( (/) C N ) )  =  0  <->  ( (/) C N )  =  (/) ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( (
# `  ( (/) C N ) )  =  0  <-> 
( (/) C N )  =  (/) )
1410, 13sylib 196 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1836   {crab 2750   _Vcvv 3051   (/)c0 3728   ~Pcpw 3944   ` cfv 5513  (class class class)co 6218    |-> cmpt2 6220   Fincfn 7457   0cc0 9425   NNcn 10474   NN0cn0 10734    _C cbc 12305   #chash 12330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-card 8255  df-cda 8483  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-rp 11162  df-fz 11616  df-seq 12034  df-fac 12279  df-bc 12306  df-hash 12331
This theorem is referenced by:  ramz2  14567
  Copyright terms: Public domain W3C validator