MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0hashbc Structured version   Unicode version

Theorem 0hashbc 14187
Description: There are no subsets of the empty set with size greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
0hashbc  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Distinct variable groups:    a, b,
i    N, a, i
Allowed substitution hints:    C( i, a, b)    N( b)

Proof of Theorem 0hashbc
StepHypRef Expression
1 0fin 7652 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2 nnnn0 10698 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 ramval.c . . . . 5  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
43hashbc2 14186 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
51, 2, 4sylancr 663 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
6 hash0 12253 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
76oveq1i 6211 . . . 4  |-  ( (
# `  (/) )  _C  N )  =  ( 0  _C  N )
8 bc0k 12205 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  _C  N )  =  0 )
97, 8syl5eq 2507 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( # `  (/) )  _C  N )  =  0 )
105, 9eqtrd 2495 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  0 )
11 ovex 6226 . . 3  |-  ( (/) C N )  e.  _V
12 hasheq0 12249 . . 3  |-  ( (
(/) C N )  e.  _V  ->  (
( # `  ( (/) C N ) )  =  0  <->  ( (/) C N )  =  (/) ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( (
# `  ( (/) C N ) )  =  0  <-> 
( (/) C N )  =  (/) )
1410, 13sylib 196 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078   (/)c0 3746   ~Pcpw 3969   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   Fincfn 7421   0cc0 9394   NNcn 10434   NN0cn0 10691    _C cbc 12196   #chash 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-seq 11925  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222
This theorem is referenced by:  ramz2  14204
  Copyright terms: Public domain W3C validator