Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0grrusgr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 0grrusgr 39784
Description: The null graph represented by an empty set is a k-regular simple graph for every k. (Contributed by AV, 26-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
0grrusgr  |-  A. k  e. NN0* 
(/) RegUSGraph  k

Proof of Theorem 0grrusgr
StepHypRef Expression
1 0ex 4528 . 2  |-  (/)  e.  _V
2 vtxval0 39292 . 2  |-  (Vtx `  (/) )  =  (/)
3 iedgval0 39293 . 2  |-  (iEdg `  (/) )  =  (/)
4 0vtxrusgr 39782 . 2  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (Vtx `  (/) )  =  (/)  /\  (iEdg `  (/) )  =  (/) )  ->  A. k  e. NN0*  (/) RegUSGraph  k )
51, 2, 3, 4mp3an 1390 1  |-  A. k  e. NN0* 
(/) RegUSGraph  k
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  NN0*cxnn0 39220  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252   RegUSGraph crusgr 39763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-2 10690  df-slot 15203  df-base 15204  df-edgf 39246  df-vtx 39253  df-iedg 39254  df-uhgr 39302  df-upgr 39328  df-uspgr 39398  df-usgr 39399  df-rgr 39764  df-rusgr 39765
This theorem is referenced by:  0grrgr  39785
  Copyright terms: Public domain W3C validator