MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fv Structured version   Unicode version

Theorem 0fv 5905
Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
0fv  |-  ( (/) `  A )  =  (/)

Proof of Theorem 0fv
StepHypRef Expression
1 noel 3794 . . 3  |-  -.  A  e.  (/)
2 dm0 5222 . . . 4  |-  dom  (/)  =  (/)
32eleq2i 2545 . . 3  |-  ( A  e.  dom  (/)  <->  A  e.  (/) )
41, 3mtbir 299 . 2  |-  -.  A  e.  dom  (/)
5 ndmfv 5896 . 2  |-  ( -.  A  e.  dom  (/)  ->  ( (/) `  A )  =  (/) )
64, 5ax-mp 5 1  |-  ( (/) `  A )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3790   dom cdm 5005   ` cfv 5594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4582  ax-pow 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fv 5602
This theorem is referenced by:  csbfv12  5907  csbov123  6326  csbov  6327  elovmpt3imp  6528  bropopvvv  6875  itunisuc  8811  itunitc1  8812  str0  14545  ressbas  14562  homarcl  15230  cntrval  16229  cntzval  16231  cntzrcl  16237  oppglsm  16535  sralem  17694  srasca  17698  sravsca  17699  sraip  17700  rlmval  17708  opsrle  18010  opsrbaslem  18012  mpfrcl  18057  evlval  18063  psr1val  18095  vr1val  18101  chrval  18431  ocvval  18567  elocv  18568  iscnp2  19608  clwwlkgt0  24594  clwwlknprop  24595  resvsca  27645  mrsubfval  28693  msubfval  28709  mclsrcl  28746
  Copyright terms: Public domain W3C validator