MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fv Structured version   Unicode version

Theorem 0fv 5835
Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
0fv  |-  ( (/) `  A )  =  (/)

Proof of Theorem 0fv
StepHypRef Expression
1 noel 3752 . . 3  |-  -.  A  e.  (/)
2 dm0 5164 . . . 4  |-  dom  (/)  =  (/)
32eleq2i 2532 . . 3  |-  ( A  e.  dom  (/)  <->  A  e.  (/) )
41, 3mtbir 299 . 2  |-  -.  A  e.  dom  (/)
5 ndmfv 5826 . 2  |-  ( -.  A  e.  dom  (/)  ->  ( (/) `  A )  =  (/) )
64, 5ax-mp 5 1  |-  ( (/) `  A )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   (/)c0 3748   dom cdm 4951   ` cfv 5529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4532  ax-pow 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fv 5537
This theorem is referenced by:  csbfv12  5837  csbov123  6234  csbov  6235  bropopvvv  6766  itunisuc  8703  itunitc1  8704  str0  14334  ressbas  14351  homarcl  15019  cntrval  15960  cntzval  15962  cntzrcl  15968  oppglsm  16266  sralem  17391  srasca  17395  sravsca  17396  sraip  17397  rlmval  17405  opsrle  17691  opsrbaslem  17693  mpfrcl  17738  evlval  17744  psr1val  17776  vr1val  17782  chrval  18091  ocvval  18227  elocv  18228  iscnp2  18985  resvsca  26466  elovmpt3imp  30331  clwwlkgt0  30605  clwwlknprop  30606
  Copyright terms: Public domain W3C validator