MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Unicode version

Theorem 0frgp 17372
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g  |-  G  =  (freeGrp `  (/) )
0frgp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
0frgp  |-  B  ~~  1o

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptresid 5121 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  x )  =  (  _I  |`  B )
2 0ex 4499 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
3 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  (freeGrp `  (/) )
43frgpgrp 17355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
52, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e. 
Grp
6 f0 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  (/) : (/) --> B
7 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~FG  `  (/) )  =  ( ~FG  `  (/) )
9 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (varFGrp `  (/) )  =  (varFGrp `  (/) )
108, 9, 3, 7vrgpf 17361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (varFGrp `  (/) ) : (/) --> B )
11 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (varFGrp `  (/) ) : (/) --> B  -> 
(varFGrp `  (/) )  Fn  (/) )
122, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (varFGrp `  (/) )  Fn  (/)
13 fn0 5656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (varFGrp `  (/) )  Fn  (/)  <->  (varFGrp `  (/) )  =  (/) )
1412, 13mpbi 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (varFGrp `  (/) )  =  (/)
1514eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  =  (varFGrp `  (/) )
163, 7, 15frgpup3 17371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (/) 
e.  _V  /\  (/) : (/) --> B )  ->  E! f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/) )
175, 2, 6, 16mp3an 1360 . . . . . . . . . 10  |-  E! f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)
18 reurmo 2987 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! f  e.  ( G 
GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)  ->  E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)
207idghm 16841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G ) )
215, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )
22 tru 1441 . . . . . . . . . 10  |- T.
2321, 22pm3.2i 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\ T.  )
24 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2524, 70ghm 16840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  Grp )  ->  ( B  X.  {
( 0g `  G
) } )  e.  ( G  GrpHom  G ) )
265, 5, 25mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  { ( 0g
`  G ) } )  e.  ( G 
GrpHom  G )
2726, 22pm3.2i 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\ T.  )
28 co02 5311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  o.  (/) )  =  (/)
2928bitru 1449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  o.  (/) )  =  (/) 
<-> T.  )
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ( f  o.  (/) )  =  (/)  <-> T.  ) )
3129a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )  ->  ( ( f  o.  (/) )  =  (/)  <-> T.  ) )
3230, 31rmoi 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)  /\  ( (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\ T.  )  /\  (
( B  X.  {
( 0g `  G
) } )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\ T.  ) )  ->  (  _I  |`  B )  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } ) )
3319, 23, 27, 32mp3an 1360 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  B )  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )
34 fconstmpt 4840 . . . . . . . 8  |-  ( B  X.  { ( 0g
`  G ) } )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )
351, 33, 343eqtri 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )
36 mpteqb 5924 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  x  e.  B  ->  ( ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G ) ) )
37 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  B )
3836, 37mprg 2728 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G ) )
3935, 38mpbi 211 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G )
4039rspec 2733 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
41 elsn 3955 . . . . 5  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
4240, 41sylibr 215 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  { ( 0g `  G ) } )
4342ssriv 3411 . . 3  |-  B  C_  { ( 0g `  G
) }
447, 24grpidcl 16637 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
455, 44ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  e.  B
46 snssi 4087 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  B )
4745, 46ax-mp 5 . . 3  |-  { ( 0g `  G ) }  C_  B
4843, 47eqssi 3423 . 2  |-  B  =  { ( 0g `  G ) }
49 fvex 5835 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
5049ensn1 7587 . 2  |-  { ( 0g `  G ) }  ~~  1o
5148, 50eqbrtri 4386 1  |-  B  ~~  1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872   A.wral 2714   E!wreu 2716   E*wrmo 2717   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425    _I cid 4706    X. cxp 4794    |` cres 4798    o. ccom 4800    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   1oc1o 7130    ~~ cen 7521   Basecbs 15064   0gc0g 15281   Grpcgrp 16612    GrpHom cghm 16823   ~FG cefg 17299  freeGrpcfrgp 17300  varFGrpcvrgp 17301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-ot 3950  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-ec 7320  df-qs 7324  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-word 12612  df-lsw 12613  df-concat 12614  df-s1 12615  df-substr 12616  df-splice 12617  df-reverse 12618  df-s2 12890  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-imas 15350  df-qus 15352  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-frmd 16576  df-vrmd 16577  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-ghm 16824  df-efg 17302  df-frgp 17303  df-vrgp 17304
This theorem is referenced by:  frgpcyg  19086
  Copyright terms: Public domain W3C validator