MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0frgp Structured version   Unicode version

Theorem 0frgp 16382
Description: The free group on zero generators is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
0frgp.g  |-  G  =  (freeGrp `  (/) )
0frgp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
0frgp  |-  B  ~~  1o

Proof of Theorem 0frgp
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptresid 5260 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  x )  =  (  _I  |`  B )
2 0ex 4522 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
3 0frgp.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  (freeGrp `  (/) )
43frgpgrp 16365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
52, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e. 
Grp
6 f0 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  (/) : (/) --> B
7 0frgp.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~FG  `  (/) )  =  ( ~FG  `  (/) )
9 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (varFGrp `  (/) )  =  (varFGrp `  (/) )
108, 9, 3, 7vrgpf 16371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (varFGrp `  (/) ) : (/) --> B )
11 ffn 5659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (varFGrp `  (/) ) : (/) --> B  -> 
(varFGrp `  (/) )  Fn  (/) )
122, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (varFGrp `  (/) )  Fn  (/)
13 fn0 5630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (varFGrp `  (/) )  Fn  (/)  <->  (varFGrp `  (/) )  =  (/) )
1412, 13mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (varFGrp `  (/) )  =  (/)
1514eqcomi 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  =  (varFGrp `  (/) )
163, 7, 15frgpup3 16381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (/) 
e.  _V  /\  (/) : (/) --> B )  ->  E! f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/) )
175, 2, 6, 16mp3an 1315 . . . . . . . . . 10  |-  E! f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)
18 reurmo 3036 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! f  e.  ( G 
GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)  ->  E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)
207idghm 15866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G ) )
215, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )
22 tru 1374 . . . . . . . . . 10  |- T.
2321, 22pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\ T.  )
24 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2524, 70ghm 15865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  Grp )  ->  ( B  X.  {
( 0g `  G
) } )  e.  ( G  GrpHom  G ) )
265, 5, 25mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  { ( 0g
`  G ) } )  e.  ( G 
GrpHom  G )
2726, 22pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\ T.  )
28 co02 5451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  o.  (/) )  =  (/)
2928bitru 1382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  o.  (/) )  =  (/) 
<-> T.  )
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ( f  o.  (/) )  =  (/)  <-> T.  ) )
3129a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )  ->  ( ( f  o.  (/) )  =  (/)  <-> T.  ) )
3230, 31rmoi 3387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* f  e.  ( G  GrpHom  G ) ( f  o.  (/) )  =  (/)  /\  ( (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\ T.  )  /\  (
( B  X.  {
( 0g `  G
) } )  e.  ( G  GrpHom  G )  /\ T.  ) )  ->  (  _I  |`  B )  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } ) )
3319, 23, 27, 32mp3an 1315 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  B )  =  ( B  X.  { ( 0g `  G ) } )
34 fconstmpt 4982 . . . . . . . 8  |-  ( B  X.  { ( 0g
`  G ) } )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )
351, 33, 343eqtri 2484 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )
36 mpteqb 5889 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  x  e.  B  ->  ( ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G ) ) )
37 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  B )
3836, 37mprg 2895 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  |->  x )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G ) )
3935, 38mpbi 208 . . . . . 6  |-  A. x  e.  B  x  =  ( 0g `  G )
4039rspec 2890 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
41 elsn 3991 . . . . 5  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
4240, 41sylibr 212 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  { ( 0g `  G ) } )
4342ssriv 3460 . . 3  |-  B  C_  { ( 0g `  G
) }
447, 24grpidcl 15670 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
455, 44ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  e.  B
46 snssi 4117 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  B )
4745, 46ax-mp 5 . . 3  |-  { ( 0g `  G ) }  C_  B
4843, 47eqssi 3472 . 2  |-  B  =  { ( 0g `  G ) }
49 fvex 5801 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
5049ensn1 7475 . 2  |-  { ( 0g `  G ) }  ~~  1o
5148, 50eqbrtri 4411 1  |-  B  ~~  1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   A.wral 2795   E!wreu 2797   E*wrmo 2798   _Vcvv 3070    C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450    _I cid 4731    X. cxp 4938    |` cres 4942    o. ccom 4944    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1oc1o 7015    ~~ cen 7409   Basecbs 14278   0gc0g 14482   Grpcgrp 15514    GrpHom cghm 15848   ~FG cefg 16309  freeGrpcfrgp 16310  varFGrpcvrgp 16311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-ec 7205  df-qs 7209  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-hash 12207  df-word 12333  df-concat 12335  df-s1 12336  df-substr 12337  df-splice 12338  df-reverse 12339  df-s2 12579  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-imas 14550  df-divs 14551  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-frmd 15631  df-vrmd 15632  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-ghm 15849  df-efg 16312  df-frgp 16313  df-vrgp 16314
This theorem is referenced by:  frgpcyg  18117
  Copyright terms: Public domain W3C validator