MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fin Unicode version

Theorem 0fin 7295
Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
0fin  |-  (/)  e.  Fin

Proof of Theorem 0fin
StepHypRef Expression
1 peano1 4823 . 2  |-  (/)  e.  om
2 ssid 3327 . 2  |-  (/)  C_  (/)
3 ssnnfi 7287 . 2  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  C_  (/) )  ->  (/) 
e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  (/)  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721    C_ wss 3280   (/)c0 3588   omcom 4804   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  nfielex  7296  xpfi  7337  fnfi  7343  iunfi  7353  cantnf0  7586  cantnf  7605  r1fin  7655  acndom  7888  numwdom  7896  ackbij1lem18  8073  sdom2en01  8138  fin23lem26  8161  isfin1-3  8222  gchxpidm  8500  fzfi  11266  fzofi  11268  hasheq0  11599  hashxp  11652  0hashbc  13330  acsfn0  13840  isdrs2  14351  fpwipodrs  14545  dprdsubg  15537  psrbas  16398  psrlidm  16422  psrridm  16423  mplsubg  16455  mpllss  16456  psrbag0  16509  fctop  17023  cmpfi  17425  ptbasid  17560  cfinfil  17878  ufinffr  17914  fin1aufil  17917  alexsubALTlem2  18032  alexsubALTlem4  18034  ptcmplem2  18037  tsmsfbas  18110  tsms0  18124  tgptsmscls  18132  xrge0gsumle  18817  xrge0tsms  18818  fta1  20178  dchrptlem3  21003  xrge0tsmsd  24176  esumnul  24396  esum0  24397  esumcst  24408  esumsn  24409  esumpcvgval  24421  sibf0  24602  derang0  24808  comppfsc  26277  0totbnd  26372  heiborlem6  26415  mzpcompact2lem  26698  dsmm0cl  27074  symgfisg  27277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-en 7069  df-fin 7072
  Copyright terms: Public domain W3C validator