Theorem 0exOLD 3447

Description: The Null Set Axiom of ZF set theory: the empty set exists. Corollary 5.16 of [TakeutiZaring] p. 20. For the unabbreviated version, see ax-nul 3445.

Assertion

Ref	Expression
0exOLD	|- (/) e. _V

Proof of Theorem 0exOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-nul 3445	. . . 4 |- E.xA.y -. y e. x
2	1	zfnuleu 3442	. . 3 |- E!xA.y -. y e. x
3		eq0 2889	. . . 4 |- (x = (/) <-> A.y -. y e. x)
4	3	eubii 1780	. . 3 |- (E!x x = (/) <-> E!xA.y -. y e. x)
5	2, 4	mpbir 207	. 2 |- E!x x = (/)
6		eueq 2427	. 2 |- ((/) e. _V <-> E!x x = (/))
7	5, 6	mpbir 207	1 |- (/) e. _V

Syntax hints:  -. wn 2  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!weu 1771  _Vcvv 2292  (/)c0 2875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-nul 3445

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-nul 2876

Copyright terms: Public domain